115年 - 115-1 國立臺灣師範大學附屬高級中學_專任教師甄選試題：數學科#138410

科目：教甄◆數學 | 年份：115年 | 選擇題數：0 | 申論題數：18

試卷資訊

所屬科目：教甄◆數學

選擇題 (0)

申論題 (18)

A. 已知 21! 為 20 位數，計算出其值等於 51090942171709ab0000 ，其中 a, b {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} ，則 (a, b) = _____________。
B. 遊戲公司宣稱某稀有卡片每次能抽取到的機率達 2%，A 玩家不太認同，要進行合理性的檢定，選定幾何分布連續抽取到
該稀有卡片為止，並決定顯著水準為 0.01 後，得到拒絕域為區間 [n, )，其中 n 為自然數，則 n =_____________。
C. 求 = _____________。
D. 平面上，O 為原點，在= 1 的兩條漸近線上分別取點 A、B，使得 OA  OB = 150 。若 P 為 AB 中點，且 P 點的軌跡方程式為 及，則 qr = _____________。
E. 設 ABCD 為正四面體，若 P 、 Q 、 S 、 R 分別為稜邊 AB 、 AC 、 DB 、 DC 上的分點，滿足AP : PB = AQ : QC = BS : SD = CR : RD = 2:1 ，令四邊形 PQRS 與 BCD 所夾的兩面角為  ，試求 cos  = _____________。
F. 設 A(2,1, −2) 、 B(4, −1, −4) 為空間兩點，原點 O(0, 0, 0) 與 P( x, y, z ) 在平面 E : 2 x + 2 y − z = 0 上且滿足 OP = 1 ，試求 PA + PB的最小值為_____________。
G. 設三角函數 f (x) = sin 4 x + cos 4 x + sin 3 x + cos 3 x + sin 2 x + cos 2 x ，令 f (x) 的最大值為 M ，最小值為 m ，試求 M − m =_____________。
H. 令 m 、 n 為正整數，且 m 、 n 滿足
，試求 log 2 (m + n) 之最小值為_____________。
I. 一個半圓裡有個四邊形 ABCD，其中 AB 為直徑，且 BC = 2 ， CD = 9 ， AD = 12 ，求 AB 的長度為_____________。
J. 如圖， I 為 ABC 之內心， IQ // AB ， IP // AC ，若 AB = 6 ， AC = 12 ， BC = 9 ，試求 APAQ = _____________。
K. 在 3  3 方格紙的 9 個小格中心隨機選取 4 個分別標記一個記號○。考慮任一小格，若其緊鄰的小格(不含自己)恰有 2 格被
標記，則得一分，累計 9 小格的總得分數為隨機變數 X，例：如圖，左下、中、上、右四小格各得 1 分，此時 X = 4。試求
E(X) =_____________。
○
○ ○
○
L. 空間坐標系中，欲從點 A(3, 0, 0) 走捷徑前往點 B(0,3,3) ，每次都只能沿著平行 x 軸、y 軸或 z 軸的方向移動一個單位。試
問在不觸及平面 E : 2 x + 2 y + z = 4 的條件下，一共有_____________種走法。
M. 平面坐標上有三個圓 C1 : ( x + 5) + y 2 = 16 、 C2 : ( x − 5 ) + y 2 = 4 、 C3 : ( x − 29 ) + ( y − 24 ) = 4 ，試問同時與此三個圓外切的
圓心坐標為_____________。
N. 已知兩三次函數 f ( x) = x 3 − x 與 g ( x) = ( x − 1)3 − ( x − 1) + 2 的圖形有三條公切線，其中兩條公切線方程式分別為 y = ax + b 、
y = ax + c ，求 abc = _____________。
O. 圓 1 是 ABC 的外接圓， AB = 8 、 BC = 7 、 CA = 6 ， D 為直線 BC 上一點，滿足直線 AD 與圓 1 相切於 A 點，圓  2 通過A 、 D 兩點，且和直線 BD 相切於 D 點，圓 1 、圓  2 交於 A 、 E 兩點，則
P. 數列滿足 a0 = 1 ， an +1 =7an + 45an 2 − 36，且 為費波納契數列，滿足 F1 = F2 = 1 ，若 F2025 恰為的第 m 項，則 m = _____________。
二、非選題：
Q. 某學生解一道題目「已知 ，求 。」解法如下：
問該學生解法過程有無錯誤？若有，請指出錯誤與如何對學生說明，並給出正確解法。若無，請給出另一種做法。
R. 在翰林版課本第二冊數列級數的單元中提到，一個圓上有 n 個點互相連成線段之後，將圓的內部分割成最多 an 個區域；

某生在觀察前五項的規律之後，推測一般式 an = 2n −1 ，試問此結果正確還是錯誤？若正確請證明；若錯誤，請找出正確的一
般式，並解釋之。