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研究所、轉學考(插大)◆線性代數
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110年 - 110 國立政治大學_碩士暨碩士在職專班招生考試_應用數學系:線性代數#139827
> 申論題
6. (15%) Let T be a linear operator on an inner product space V, and suppose that
for all x. Prove that T is one-to-one. | | | | | |
相關申論題
1. (14 points) Consider the following function: $$ f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x < 1; \\ 2x, & x \geq 1. \end{cases} $$ Use the $ \epsilon $-$\delta $ definition of the limit to show that $ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 $. | | | | | |
#574649
| 2. Consider $$ f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{x y^2}{x^2 + y^2}, & \text{if } (x, y) \neq (0, 0); \\ 0, & \text{if } (x, y) = (0, 0). \end{cases} $$ (a) (3 points) Find the partial derivatives at $(0, 0)$ and the gradient vector $ \nabla f(0, 0) $.
#574650
(b) (6 points) Use the definition of the directional derivative to find $ D_u(0, 0) $ for all unit vectors $ \mathbf{u} = (a, b) $.
#574651
(c) (6 points) Is $ f $ continuous at $(0, 0)$? How about differentiability? | | | | | |
#574652
| 3. (a) (6 points) Let $ f(x) $ be a continuous function. Show that if $ f(x) $ has two local maxima, it also must have a local minima.
#574653
(b) (8 points) Show that part (a) becomes wrong for a function of two variables by finding all local maxima and minima of the function: $$ f(x, y) = - (x^2 - 1)^2 - (x^2 y - x - 1)^2. $$ | | | | | |
#574654
| 4. (a) (7 points) Evaluate $$ \int \frac{x}{(x + 1)(x + 2)} \, dx. $$
#574655
(b) (7 points) Evaluate $$ \int_0^1 \frac{dx}{(2 - x)\sqrt{1 - x}}. $$ | | | | | |
#574656
| 5. (a) (7 points) Use a suitable change of variable to compute $$\iint_R (x + y)^2 e^{x^2 - y^2} \mathrm{d}A,$$ where $R$ is the square with vertices $(1,0), (0,1), (-1,0)$ and $(0, -1)$
#574657
(b) (7 points) Evaluate $$\iiint_{x^2 + y^2 + z^2 \leq 1} e^{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \mathrm{d}V.$$ | | | | | |
#574658
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