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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 101年 - 101 高等考試_三級_電力工程、電子工程、電信工程：工程數學#29540
101年 - 101 高等考試_三級_電力工程、電子工程、電信工程：工程數學#29540
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
101年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
7
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 解微分方程式y ′′ − 2'y=0 ；其中初值 y (0)= −3,
0 。 (A) y=-3e' cos t (B) y= − 3cos t (C) y=-3e
-1
−t cos t (D) y= − 3sin t
2 下列何者可為微分方程式
之積分因子？ (A)x
2
(B)y
2
(C)xy (D)1/xy
複選題
3 已知
，求出
之值，其中S:x
2
+ 4y
2
=4 ,x≥0 ,y ≥ 0 , 0≤2z≤ b 。(一律給分) (A)2πb
3
(B)
πb
3
(C)
πb
2
(D)
πb
3
4 令
為一常數向量，
，則
等於多少？ (A) 0 (B)
(C)
(D)
5 橢圓 x2 +4(y-1)
2
=4 在點
的切線為何？ (A)
(B)
(C)
(D)
6 若
，請求出 ？A
3
-7A
2
+11A-4AI (A) 0 (B) I（單位矩陣 identity matrix） (C) A (D)
7 試問二次式（quadratic form）： 4x
1
2
-4x
2
2
+6x
1
x
2
=8在 (x
1
,x
2)-
平面上是那一種曲線？ (A)圓（circle） (B)橢圓（ellipse） (C)雙曲線（hyperbola） (D)拋物線（parabola）
8 設x
1
,x
2
, x
3
為下列聯立方程組之解，
則 x
1
+x
2
+x
3
等於多少？ (A)-1 (B) 4(C)
(D)
9 試求函數
的反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform）。 (A)
(sin t+tcost) (B)
(sin t+tcost) (C)
(tcost+sin t) (D)
(tcost+sin t)
10
，下列何者為 的拉普拉斯轉換 ？ (A)
(B)
(C)
(D)
11 反拉普拉斯轉換
等於下列何者？ (A) sin2(t-1) (B)e' cos(2t) (C) e
-1
cos(2t) (D)
sin( 2t)
12 有一函數 f(x)=x + π ，其中 -π
(B)f(x)=
(C)f(x)=
(D)f(x)=
13 利用傅立葉級數的觀念求出等式
中cn 的值，其中δ (t) 為 Dirac delta 函數，T 是固定的週期。 (A)
(B)
(C)
(D)
14 定義函數 tf )( 的傅立葉轉換（Fourier transform）為
，其中
。求 f(t)sin(ω0
t
) 的傅立葉轉換為何？ (A)
(B)
(C)
(D)
15 級數
的收斂半徑（radius of convergence）為何？ (A) 1/10 (B) 1/5 (C)
(D) 10
16 求 ∫ sin(3z)cos(3z)dz？ (A)
sin
2
3z+ c (B) sin
2
3z + c(C)6sin
2
3
z + c(D) 3sin
2
3z + c
17 求
= ？ (A)α
z
(B) α
z
lnα (C)lnα (D)α
z
/lnα
18 極座標之二維位能函數（potential function） u( r,θ ),( 滿足 Laplace’s 方程式
，若 u 與θ 無關，亦即 = ruu )( ，則下列何者可能為其解？ (A)
(B)u = ln r (C) u= e
−r
(D)u= re
−r
19 給定一個隨機變數 X，已知期望值（mean） E[X ] = 2 ，E [ X(X −4) ]= 5 ，則 12 -4X 的變異值（variance）為何？ (A) 4 (B) 13 (C) 17 (D) 144
20 給定一個連續隨機變數 X，它的機率密度函數為 ，
。則 X
3
的期望值（mean）為何？ (A) 0 (B) 3 (C) 25 (D) 50
申論題 (7)
⑴ f (x) 定義於[−π ,π ]的傅立葉級數（Fourier series）（9 分）
【已刪除】⑵
（3 分）
【已刪除】⑶
（3 分）
【已刪除】⑴若λ是一個非奇異（nonsingular）矩陣 A 的特徵值（eigenvalue），X 是λ對應的特徵向 量（eigenvector），請證明
及 X 分別是 A
−1
的特徵值及其對應的特徵向量。（10 分）
【已刪除】⑵若A=
，請用其最大的特徵值驗證⑴的結果。（5 分）
【已刪除】三、藉由考慮級數
收斂性，證明
， 0< r <1。 （10 分）
四、解(1+x
2
)(dy-dx)=(2
xydx
條件為 y(0) =1。（10 分）
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0
。
(A) y=-3e' cos t (B) y= − 3cos t (C) y=-3e-1−t cos t (D) y= − 3sin t
之積分因子？
(A)x2 (B)y2 (C)xy (D)1/xy
，求出
之值，其中S:x2+ 4y2=4 ,x≥0 ,y ≥ 0 , 0≤2z≤ b 。(一律給分)
(A)2πb3(B)
為一常數向量，
，則 
等於多少？
(A) 0 (B) 
(C)
(D)
的切線為何？
(A)
(B)
(C)
(D)
，請求出 ？A3-7A2+11A-4AI (A) 0 (B) I（單位矩陣 identity matrix） (C) A (D) 
則 x1+x2+x3 等於多少？
(A)-1 (B) 4(C) 
(D)
的反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform）。
(A)
(sin t+tcost) (B)
(sin t+tcost) (C)
(tcost+sin t) (D)
(tcost+sin t)
，下列何者為 的拉普拉斯轉換 ？
(A)
(B) 
(C)
(D)
等於下列何者？
(A) sin2(t-1) (B)e' cos(2t) (C) e-1 cos(2t) (D) 
sin( 2t)
(C)f(x)= 
(D)f(x)= 
中cn 的值，其中δ (t) 為 Dirac delta 函數，T 是固定的週期。
(A)
(B) 
(C)
(D)
，其中 
。求 f(t)sin(ω0t) 的傅立葉轉換為何？
(A) 
(B)
(C) 
(D)
的收斂半徑（radius of convergence）為何？
(A) 1/10 (B) 1/5 (C) 
(D) 10
sin23z+ c (B) sin23z + c(C)6sin23z + c(D) 3sin23z + c
= ？
(A)α z (B) α z lnα (C)lnα (D)α z /lnα
，若 u 與θ 無關，亦即
= ruu )( ，則下列何者可能為其解？
(A) 
(B)u = ln r (C) u= e −r (D)u= re −r 
。則 X 3的期望值（mean）為何？
(A) 0 (B) 3 (C) 25 (D) 50 
（3 分）
（3 分）
及 X 分別是 A −1的特徵值及其對應的特徵向量。（10 分）
，請用其最大的特徵值驗證⑴的結果。（5 分）
收斂性，證明 
， 0< r <1。 （10 分）