103年 - 103 高等考試_三級_電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程：工程數學#17766

科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) | 年份：103年 | 選擇題數：20 | 申論題數：5

試卷資訊

所屬科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

選擇題 (20)

1. 定義曲線 C 為 x = t, y = t 及 z = t² ，其中0 ≤ t ≤ 2，求函數ϕ (x, y) = x + y 沿曲線 C 之線積分。 (A)8 (B)32/3 (C)8 √2 (D)26 √2 / 3

2 設 f 和 g 為可微分（differentiable）純量函數，v 和 u 為可微分向量函數，則有關它們的梯度（gradient）、散度（divergence）與拉普拉斯算子（Laplace operator）的等式，下列何者錯誤？

3 令向量函數 F = [ y ² , z, x ² ]，曲線 C 為螺旋圓弧線 r(t) = [2cost, 2sint, t]從 (2, 0, 0) 到 (-2, 0, π)，則線積分

之值為何？

4 令 u, v, w 為空間中向量，則下列敘述何者錯誤？ (A)u ⋅ (u × w) = 0 (B)u ⋅ (ν × w) = (w × u) ⋅ v (C)u × (v × w) = (u × v) × w (D)u ⋅(v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w

設

，則其反矩陣 A-1的特徵值之積為何？ (A)-3 (B)3 (C) -1/3 (D) 1/3

一個矩陣

，則以下何者不是其特徵向量（eigenvector）？ (A)x = (2, -4, 6) (B)x = (2, 0, 6) (C)x = (2, 2, 0) (D)x = (-1, 0, 1)

有關正交矩陣（orthogonal matrices）A 的特性，下列何者錯誤？ (A)A 的行向量（column vector）都互為正交 (B)A 的列向量（row vector）都互為正交 (C)A 的行列式值（determinant）為 1 或-1 (D)A 的特徵值（eigenvalues）全為實數

下列選項何者為 e ^z = 1+2i 的一解，其中i = −1 ：

9 令 λ1, λ2, λ3為矩陣

的特徵值（eigenvalues），其中

，試問下列何者正確？

10 針對複數冪級數（complex power series）

的敘述，下列何者正確？ (A)此冪級數僅在 z = 2i 收斂 (B)此冪級數在| z − 2i | < 1/ 27 的開放圓（open disk）內為收斂 (C)此冪級數在| z − 2i | < 27 的開放圓內為收斂 (D)此冪級數在所有複數 z 均收斂

11 假設 C 為沿著逆時針方向繞圓周 | z | = 2，試求積分

為何？ (A)0 (B)πi (C)1 (D)2πi

12 下列何項常微分方程式之 x = 0 為不規則奇點（irregular singular point）？

13 設微分方程式

的解 y(x) 的拉式轉換為

，試求常數 a 及 0 y ，並判定下列何者正確？ (A) 4 a + y0 = (B) 3 a + y0 = (C) 2 a + y0 = (D) 1

14 已知

，以下何者為

15 試找出微分方程式 y′′ + λy = 0, y(0) = 0, y (L) = 0 之特徵值（eigenvalues）λ m (m = 1, 2, 3,...) ？

16 下列何者不可能是微分方程式 y′′ + Ay′ + By = 0 的解？其中 A 和 B 為常數。 (A) 2 x (B) 3x+4 e (C)e + x 2 (D) cos(3 4)

17 有一個週期為 L 的函數 f ( x)= x² , 0< x< L z ，展開成

，請問bn 為何？

18 離散隨機變數 X 與 Y 之結合機率質量函數（joint probability mass function）為：

，試問下列何者正確？

19 二枚錢幣出現正面之機率分別為 1/3 及 1/2 ，同時投擲該二枚錢幣連續 3 次，試求二枚錢幣皆出現正面剛好 2 次之機率為何？ (A) 1/72 (B) 5/72 (C) 3/32 (D) 5/36

20 假設 50 歲以上的成年人罹患癌症的機率為 0.05，而醫生將患有癌症病患成功篩檢出來的機率為 0.78，但是將沒有患病的成年人錯誤篩檢為有癌症的機率為 0.06。請問針對此癌症篩檢來說，一位 50 歲以上的成年人會被檢測出他有癌症的機率為何？ (A)0.039 (B)0.096 (C)0.057 (D)0.05

申論題 (5)

【已刪除】一、請用拉普拉斯轉換法解微分積分方程式

【已刪除】

。求解 A 的反矩陣（inverse matrix）。（10 分）

三、試找出一平面 Ax+By+Cz= D, D≠0上距離原點 (0,0,0) 最近一點之座標。（10 分）

剛好二顆藍色骰子皆為 6 點且剛好三顆綠色骰子皆為偶數點數。（7 分）

藍色骰子出現 6 點之數量同於綠色骰子出現 6 點之數量。（8 分）