110年 - 110 地方政府特種考試_三等_電力工程、電子工程：工程數學#104900

1 若多項式 p₁ ( x ) = x ² - 2 x + 1， p₂ ( x ) = 2 x ² + ax - 1， p₃ ( x ) = x ² + x + b 所拓展（span）的子空間維度為 3，則（a, b）為何？  (A) (B) (-1, -2) (C) (D)

2 某向量經過線性轉換（linear transformation） 之後，長度被放大 r 倍，逆時針旋轉 角度θ。r 和θ分別為何？ (A) r = 3, θ = 60° (B) r = 1, θ = - 30° (C) r = 2, θ = 60° (D) r = 2, θ = - 30° 

3 矩陣 ，則 det( A ⁵) 為何？  (A) 32 (B)0 (C) -16 (D) -32

4 矩陣 ，下列何者為其特徵向量（eigenvector）？ (A) (B) (C) (D)

5 令 z = x + iy ，i 為單位虛數，則 的虛部為何？ (A) (B) (C) (D)

6 矩陣 ，其特徵多項式（characteristic polynomial）為 λ ³ + cλ ² + 3λ - 2 。則 4a + b + c 為何？ (A) -16 (B) -7 (C) -2.5 (D) -2 ∞

7 微分方程式 y' + cos( x) y = 1，初始值 y (π ) = A。若 y ( x ) 的級數解為 ，則 a₃ 為何？  (A)1 (B) (C)A (D)

8 函數 ， - 1 ≤ x ≤ 1，其傅立葉級數（Fourier series）在 x = -1 時收斂於 A ，在 x = 0 時收斂 於 B ，在 x = 1 時收斂於 C 。則 A + B + C 為何？  (A) (B) (C) (D)

9 考慮定義於頂點為 (0, 0) 、 (3, 0) 、 (2, 2) 的三角形的連續隨機變數 X 和 Y ，其機率密度函數 （probability density function）為均勻分配（uniform distribution）。機率 為何？ (A)3/8                           (B)3/4                       (C)1/2              (D)4/5

10 連 續 隨 機 變 數 X 和 Y 的 結 合 機 率 密 度 函 數 （ joint probability density function ） 為
，則 0 ≤ y ≤ 3 區間內的邊際（marginal）機率密度函數 為何？ (A) (B) (C) (D)

11 矩陣 的秩（rank）為何？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

13 已知一個3×3矩陣B的特徵值（eigenvalues）為 0, 1, 2，請問這些已知資訊尚不足以決定下列那個 值？ (A)B的秩（rank） (B)的特徵值 (C)的行列式值 (D)的特徵值

14 有一投影矩陣，其中A為 m×n 矩陣，其秩為n。請問下列何者錯誤？ (A) (B) (C)P ² =P (D)

15 下列何者是級數的收斂區域？ (A) (B)|z+i|<1 (C)|z+i|<2 (D)|z+i|<4

16 微分方程式 y''+3 y' + 2 y = f (t ) ，初始值 y (0) = y'(0) = 0 。若 y (t ) 的拉式轉換（Laplace transform）  為 ，則 f (t ) 為何？ (A) (B) (C) (D)

17 積分方程式的解為何？ (A)y(t)= cos t (B)y(t)= sin t (C)y(t)= cos t + sin t (D)y(t)=et

一、限定使用反矩陣法求解下列線性方程組。

二、已知函數 ，求圍線積分 ，其中 c為之圓且路徑為逆時針方向。

三、假設函數 f (x)=x+π，且-π＜x＜π（週期為 2π） ，試求傅立葉（Fourier）級數展開式並以此結果驗證下列等式成立。