95年 - 95 高等考試_三級_電力工程、電子工程、醫學工程：工程數學#36564

科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) | 年份：95年 | 選擇題數：20 | 申論題數：9

試卷資訊

所屬科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

選擇題 (20)

i = √−1，下列那一級數（series）收斂？

2 有一個平面包含

兩個向量，求出向量

與該平面法線的夾角應為何？ (A) θ =cos ⁻¹0 (B) θ =cos ⁻¹1 (C) cos⁻¹ θ =4/ √30(D) θ =cos⁻¹1/√30

3 下列何組向量可成為 R² 空間的單範正交基底（orthonormal basis）？ (A){(1/ √2, 1/ √2)^T ,(1, −1)^T } (B){ (−1/ 2, √3 / 2) ^T ,( √3 / 2, −1/ 2)^T } (C){ (1, 1)^T ,(1, −1)^T } (D){ (1/ √2, −1/ √2)^T ,(1/ √2, 1/ v2)^T }

4 假設

方向之單位向量為何？

5 下列敘述何者正確？ (A)如果 A 是赫米特矩陣（Hermitian matrix），並且 A² = I，I 是單位矩陣，則 A 也是么正矩陣（unitary matrix） (B)赫米特矩陣的行列式值（determinant）不一定是實數（real） (C)令

表示矩陣M 之所有特徵值（eigenvalue）的總和。現給予A、B 兩矩陣，則

(D)如果一個矩陣有重複的（repeated）特徵值，則此矩陣無法對角化（diagonalizable）

6 試求微分方程式 x² dy − 2ydx= −( y²+2x)dy 之通解，其中 c 為任意實數。 (A) y = 2cos ^− 1(x / y) + c (B) y =2cot⁻¹( x/ y) + c (C) y = 2sec⁻¹ (x /y ) + c (D) y =2 tan ⁻¹(x / y) + c

7 計算

之值，其中 C 表示一個正方形，其邊線通過點(±2, 0)及(0, ±2)，逆時鐘方向（counterclockwise）。 (A)π (B) 0 (C) i2π (D) iπ

8 若一系統之轉移函數為G( s) = 1/[s² + 3s +2 ] 且輸入信號為 x(t) = sin 2t ，則輸出信號 y(t)之拉氏轉換 Y(s)為： (A) s/[(s +1 )( s +2 )(s² +2 )] (B)2 /[(s+1 )(s +2 )(s²+2 )] (C) s/[(s+1)(s +2 )(s² +4 )] (D)2 /[( s +1)(s +2 )(s² +4 )]

9 下列何者與 L{f (t)u(t − a) } 相等，其中 L{•}代表拉氏轉換（Laplace Transform）？ (A)e^−as L{ af (t)} (B)e^−as L{df (t) / dt} (C)e ^−as L{af (t − a)} (D)e^−as L{f (t+ a)}

10 若微分方程式 y′′ − 4y′ + 4y = 25sin x 且 y(0) = 3、 y′(0) = 2，試求其解？ (A) y= e ^2xe +2xe ^2x + cosx (B) y= 3e^2x − 5xe ^2x + sin x (C) y= 2e^{2 x}+2xe ^2x+ cosx + sinx (D) y= −e^2x +xe ^2x+3sin x + 4cos x

11 下列那一函數滿足 Laplace 方程式

？ (A)u = sin x cos y (B) u = tan⁻¹ ( y/x ) (C) u = x² + y² (D)u = sinh x cosh y

12 f (t) 是週期 2π的函數，在 −π ≤ t < π 之間定義為 f (t) = │t│。將 f (t) 的傅立葉級數（Fourier series）表示成

，求 a_0/2 之值為何？ (A)π/2 (B)π (C) 2π (D) 4π

13 給定一個連續隨機變數 X，它的機率密度函數為

，則條件期望值 E(X | X ≤ 6)為何？ (A) 3.0 (B) 5.0 (C) 6.0 (D) 10.8

14 二維隨機變數 X 與 Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為

。則 X² +Y² < 1的機率為何？ (A) 1/16 (B) 1/8 (C) 3/16 (D) 1/4

15 L{•} 代表拉氏轉換（Laplace Transform），令

，則 f(π/2) 等於多少？ (A) 0 (B)1−√2/2 (C) 1 (D) 2

16 令 P_n 為所有次數小於 n 之多項式集合，Cⁿ [a b] , 為所有可 n 次微分之函數 f (x), x∈[a,b]所成的集合。Rⁿ表示 n 維實數向量， R^n×n 表示 n 階實數矩陣。則下列敘述何者正確？ (A) (1,1,0)^T ,(1,0,−1)^T ,(1,−1,2)^T 在 R³ 線性相依（linearly dependent） (B) x² ， x │x│，此二向量在C¹ [ −1,1] 線性相依 (C)

在 R^2×2 線性獨立（linearly independent） (D) x +1, x +2 ,x² −1 在 P³ 線性獨立

17 下列那一個向量垂直於平面 x + 2y + 3z = 6？

18 解微分方程式

。 (A) xy = xe^y + ce^y (B) y =ye^y+ e^x + c (C) x = ye^y + ce^y (D) ye^y+ xe^x =c

19 給定一個離散隨機變數（ discrete random variable ） X ，它的機率質量函數（ probability mass function ）為

。定義事件（event）B 為 B = {3,4,5,6}，求條件機率Pr(X = 6 | B) 為何？ (A) 0 (B) 0.10 (C) 0.20 (D) 0.25

20 解微分方程式 xy′ = y² + y −2 。

申論題 (9)

【已刪除】一、若 C 表示一個 │z −1│ = 2的圓，試求圍線積分

。（5 分）

【已刪除】⑴求

之傅立葉轉換

。（5 分）

【已刪除】⑵計算

。（5 分）

【已刪除】⑶求

之值。（5 分）

⑴ A 之特徵值（eigenvalues）。（3 分）

A 之特徵向量（eigenvectors）。（3 分）

⑶計算 = e^−A ？（4 分）

【已刪除】四、有一表面 S 如下 S: x² + y² + z² =1 , z ≥0 ，假設有一向量函數為

之值。（10 分）

五、求出微分方程式 y ′′ + 9y = x cos x的通解。（10 分）