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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 98年 - 98 高等考試_三級_電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程：工程數學#36836
98年 - 98 高等考試_三級_電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程：工程數學#36836
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
98年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
4
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 下列何者不正確？ (A) x
2
y′′ +10x
2
y′ + 5y = 0是尤拉－哥西（Euler-Cauchy）方程式 (B)2xydx + x
2
dy = 0是正合（Exact）方程式 (C) y′ + y tan x = sin 2x是線性（linear）微分方程式 (D) y′ + 3xy = y
3
x
2
是白努利（Bernoulli）方程式
2 有一微分方程式 y′′ + y′− 2 y= 0 , y(0) = 4 , y′(0) = −5，下列何者為其解？ (A) y = e
x
+ 3e
2x
(B) y = e
−x
+ 3e
2x
(C) y = e
−x
+ 3e
−2x
(D) y= e
x
+ 3e
−2x
3 下列何者不是線性（linear）微分方程式？ (A) x
3
y′+ 3x
2
y=1/x = (B) x2 y′ + 2xy = sinh 5x (C) y′ = 1+ y
2
(D) xy′= 2y +x
3
e
x
4 下列何者不是微分方程式
的解？ (A) y = 1+ cos x (B) y = 1+ sin x (C) y = 2(1+ cos x) (D) y = 1
5 設
，令旋度（curl）∇ × F = αi + β j + γ k ，則α + β + γ 等於？ (A) 6 (B) 0 (C) −1/2 (D)− 3
6 令σ (x, y,z) 為空間中某物體之密度分布，T 為該物體所存在之領域（region），其對 X 軸之轉動慣量（moment of inertia） 為
。今有一密度為１之圓柱體 ,
T:
，其 I
x
為：
7 令矩陣 A=
，設a, b, c, d 皆為正值，且 A
T
A = I ，則a + b + c + d 等於多少？
8 令u 為
向量，則下列敘述何者錯誤？ (A) uu
T
為對稱矩陣 (B) uu
T
的秩（rank）為 1 (C) uu
T
恆可對角化 (D) uu
T
的特徵值恆大於0
9 令向量x= [1 1 -2 ]
T
，下列何者正確？
10 試求當線性聯立方程式：
，具有無窮多組解時， a = ？ (A)a = −3 (B)a = 3 (C)a = √3 (D)a = ±2 √2
11 若 f (t)的拉普拉斯轉換式（Laplace transform）為
，試求
。 (A) 0 (B)1/2 (C) 1 (D)∞
12 以下何者為 δ (t − a) *u(t + b)之拉普拉斯轉換式（Laplace transform）？其中δ (t)為脈衝函數（impulse function）； u(t)為單步階函數（unit step function）。
13 已知週期為 1 的函數
，欲將 f (x)展開成f (x)=
，試問 b
n
為何？
14 有一函數
，求 F(x)的傅立葉轉換（Fourier transform）
15 微分方程式 x(1− x) y′′ + [c − (1+ a + b)x] y′ − aby = 0 稱為 hyper-geometric 方程式，其中的a, b, c為常數。則 x = 0 是此 方程式的什麼點？ (A)規則奇異點（regular singular point） (B)不規則奇異點（irregular singular point） (C)正常點（ordinary point） (D)可解析點（analytic point）
16 令 z 為任一複數且 z ≠ 0 ，則下列敘述何者為真？
17 令 f ( )z = (1− x)
3
+ i y
3
，其中 z = x + i y為複數（complex number），
。則下列敘述何者正確？ (A)對於複數平面上任何一點 z ， f '(z)皆不存在 (B)只有在 z =1時， f '(z)才存在 (C)除了 z =1之外， f '(z)皆存在 (D)只有在 z = 0 時， f '(z)才存在
18 若
？ (A)760 +100√3 (B)760 +128 √3 (C)765 +100 √3 (D)765 +128 √3
19 設一隨機變數（random variable）X ，其期望值（mean value）E[X ] = 2，均方差（variance）
。令Y = 2X + 3 ，則
之值為何？ (A) 27 (B) 21 (C) 12 (D) 6
20 在某一個車站，公車到站的時間是隨意分布在上午 10 點到 10 點 50 分之間。一個乘客在上午 9 點 55 分抵達車站，一 直等到 10 點 10 分都沒有公車。從現在開始算，20 分鐘之內公車會到站的機率為何？ (A) 0.20 (B) 0.40 (C) 0.45 (D) 0.50
申論題 (4)
【已刪除】一、試應用留數定理（Residue Theorem）計算下列積分
（15 分） 。
【已刪除】⑴請用迴旋積分公式（convolution formula）求出
的反拉普拉斯轉換式 （inverse Laplace transform）。（10 分）
⑵寫出 g(t) = sin(wt + v) 的拉普拉斯轉換式（Laplace transform），其中w及v都是常數。 （5 分）
【已刪除】三、考慮一錐面∑ ，其定義為
。假設在∑ 上的質量 密度函數為ρ(x, y,z) = x
2
+ y
2
，試計算其質心的座標(
。（20 分）
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的解？ (A) y = 1+ cos x (B) y = 1+ sin x (C) y = 2(1+ cos x) (D) y = 1 
，令旋度（curl）∇ × F = αi + β j + γ k ，則α + β + γ 等於？ (A) 6 (B) 0 (C) −1/2 (D)− 3 
。今有一密度為１之圓柱體 ,
，其 Ix 為： 
，設a, b, c, d 皆為正值，且 AT A = I ，則a + b + c + d 等於多少？ 
向量，則下列敘述何者錯誤？ (A) uuT為對稱矩陣 (B) uuT的秩（rank）為 1 (C) uuT恆可對角化 (D) uuT的特徵值恆大於0
，具有無窮多組解時， a = ？ (A)a = −3 (B)a = 3 (C)a = √3 (D)a = ±2 √2 
，試求 
。 (A) 0 (B)1/2 (C) 1 (D)∞ 
，欲將 f (x)展開成f (x)= 
，試問 bn為何？ 
，求 F(x)的傅立葉轉換（Fourier transform） 
。則下列敘述何者正確？ (A)對於複數平面上任何一點 z ， f '(z)皆不存在 (B)只有在 z =1時， f '(z)才存在 (C)除了 z =1之外， f '(z)皆存在 (D)只有在 z = 0 時， f '(z)才存在 
？ (A)760 +100√3 (B)760 +128 √3 (C)765 +100 √3 (D)765 +128 √3 
。令Y = 2X + 3 ，則
之值為何？ (A) 27 (B) 21 (C) 12 (D) 6 
（15 分） 。 
的反拉普拉斯轉換式 （inverse Laplace transform）。（10 分） 
。假設在∑ 上的質量 密度函數為ρ(x, y,z) = x 2 + y2，試計算其質心的座標(
。（20 分）