阿摩線上測驗
24.甲、乙、丙、丁四人從標示 1 到 10 的 10 張卡片中各抽一張牌，彼此看不到對方的牌。甲：「我抽到一個質數，你們可能有人抽到它的立方。」乙：「我也抽到一個質數，你們可能有人抽到它的平方。」 丙：「甲、乙之中有人說中了，但我的數字和你們兩個的任一個數字相乘都無法得到 24。」丁：「甲、乙 之中有人抽中我和丙的最大公因數。」請問丁抽中的數字為何？
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) 9
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統計： A(26), B(11), C(117), D(31), E(0) #3672740
統計： A(26), B(11), C(117), D(31), E(0) #3672740
詳解 (共 2 筆)
小拚拚
#7283310
根據題意，我們可以透過邏輯推導得出丁抽中的數字：
- 甲的數字：
1 到 10 的質數有 2, 3, 5, 7。甲說有人可能抽到他的立方，在 1 到 10 中，只有符合。因此，甲抽到 2，且他預測有人抽到 8。
23=82 cubed equals 823=8 - 乙的數字：
乙也抽到質數，且預測有人抽到他的平方。在 1 到 10 中，與
22=42 squared equals 422=4皆符合。
32=93 squared equals 932=9- 若乙抽到 2，則與甲重複（題目暗示四人各抽一張，數字應不同），不合。
- 因此，乙抽到 3，且他預測有人抽到 9。
- 丙的數字：
- 丙說「甲、乙之中有人說中了」，代表丙或丁其中一人抽到了 8（甲的預測）或 9（乙的預測）。
- 丙說「我的數字與甲(2)或乙(3)相乘都無法得到 24」。
- 若丙是 8：
（不合）。
8×3=248 cross 3 equals 248×3=24
- 若丙是 12（超過範圍，不合）。
- 若丙是 8：
- 因此，丙抽到的數字是 9（這符合乙說中預測，且
、
9×2=189 cross 2 equals 189×2=18均非 24）。
9×3=279 cross 3 equals 279×3=27
- 丁的數字：
- 因為丙抽到了 9，且「甲、乙中有人說中了」，而甲預測的是 8，這表示丁抽到的數字是 8。
- 驗證丁的說法：「甲(2)或乙(3)之中有人抽中我(8)和丙(9)的最大公因數」。
- 8 和 9 的最大公因數是 1。但甲是 2，乙是 3，皆非 1。
- 重新檢視丙的條件：丙說「甲、乙之中有人說中了」，除了丙抽到 9 之外，也可能是丁抽到 9。
- 若 丁抽到 9：
- 丙必須抽到 8 才能讓「有人說中」成立，但丙抽到 8 會導致
（不合）。
8×3=248 cross 3 equals 248×3=24
- 所以丙不能抽到 8。那麼丙只能抽到其他數字，而丁抽到 8 或 9。
- 丙必須抽到 8 才能讓「有人說中」成立，但丙抽到 8 會導致
- 若 丁抽到 9：
- 最終推導：
- 甲 = 2，乙 = 3。
- 為了讓「甲、乙有人說中」，8 或 9 必須被抽走。
- 若丁 = 4：
（不合）。
gcd(4,9)=1gcd of open paren 4 comma 9 close paren equals 1gcd(4,9)=1
- 若丁 = 6：
（乙是 3，符合！）。
gcd(6,9)=3gcd of open paren 6 comma 9 close paren equals 3gcd(6,9)=3
- 此時丙 = 8 還是不合。
- 若 丁 = 6 且 丙 = 9：
- 甲乙說中：乙說中丙抽到 9。
- 丙的乘積：
（皆非 24，符合）。
9×2=18,9×3=279 cross 2 equals 18 comma 9 cross 3 equals 279×2=18,9×3=27
- 丁的公因數：
。乙正好是 3（符合）。
gcd(6,9)=3gcd of open paren 6 comma 9 close paren equals 3gcd(6,9)=3
因此，丁抽中的數字為 6。
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