申論題

使用遞迴來計算第 n 個費式數列的值的執行時間通常比使用迴圈來得多，主要原因在於遞迴的計算過程中存在大量的重複計算，導致時間複雜度較高。

重複計算問題： 遞迴函式 fibonacci_recursive(n) 在計算過程中，會多次計算相同的子問題。例如，當你計算 fibonacci_recursive(n) 時，會呼叫 fibonacci_recursive(n-1) 和 fibonacci_recursive(n-2)，而 fibonacci_recursive(n-1) 又會進一步呼叫 fibonacci_recursive(n-2) 和 fibonacci_recursive(n-3)，導致相同的值會被重複計算許多次。

指數時間複雜度： 因為重複的計算，遞迴方法的時間複雜度是 O(2^n)，這意味著每次增加 n，需要的計算次數會指數增長。因此，當 n 變大時，計算時間會急劇增加。

迴圈方法更有效率： 迴圈方法的時間複雜度是 O(n)，因為它只需從 0 計算到 n，每次計算僅需存取和更新兩個變數的值。因此，相較於遞迴方法，迴圈方法更高效，並且避免了重複計算的問題。

總結來說，遞迴版本的費氏數列在計算中會造成大量的重複計算，導致指數級的時間複雜度，而迴圈版本只需線性計算，因此在效率上遠高於遞迴版本。