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105年 - 105 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#55617
> 申論題
題組內容
四、試證明：
⑴如果正整數 m 使得2
m
+1 m 是質數，必有正整數 n 使得 m = 2
n
。（10 分）
相關申論題
一、試解同餘方程組：（20 分） 2x ≡ 1(mod 3)， 3x ≡ 3(mod 5)， 4x ≡ 4(mod 8)。
#209704
二、試證明：沒有正整數 x, y 滿足方程式： 5x + 2 =17y 。（20 分）
#209705
三、試證明：形如 4m+3 的質數有無窮多個。（20 分）
#209706
⑵如果正整數 −1 p a 是質數，則 a = 2 且 p 是質數。（10 分）
#209708
⑵如果正整數 a 整除正整數 b，則ϕ(a)整除ϕ(b)。（10 分）
#209710
(二)令 p 為奇數以及k 為整數且0<k<p ；證明( p- k )!( k-1)! ≡ (-1) k ( mod p ) 。（10 分）
#544011
(一)已知 i= ，計算 gcd(-5+11i, 4+3i ) 之值。 （10 分）
#544010
(二)利用以下對應指數表求解：其中 ind a ( k ) 為使 a n≡k (mod 13) 的最小正整數 n 。以模 13 的原根 2 求解 5 x10 ≡ 2(mod 13) 。（15 分）
#544009
(一)求模 13 的所有原根。（10 分）
#544008
三、解線性同餘系統：（15 分）x ≡3(mod 4)x≡ 2(mod 5)3 x≡1(mod 7)
#544007
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