⑴這個函數在計算什麼？（用 n 的函數來表示）

分析這個函數在計算什麼

這個函數使用了遞迴（recursion），並且包含一個基本情況（base case）和遞迴情況（recursive case）。

1. 基本情況：

   • 當 n == 1 時，函數返回 1。

2. 遞迴情況：

   • 當 n > 1 時，函數返回 n + func(n - 1)。

從這個遞迴公式我們可以看到，這個函數在計算從 n 到 1 的所有正整數的和。

我們可以用數學歸納法來驗證這個結論：

• 基本情況：當 n == 1 時，func(1) 返回 1，這是正確的。
• 遞迴情況：假設對於 n = k，func(k) 計算正確，則對於 n = k + 1，func(k + 1) = (k + 1) + func(k)。根據假設，func(k) 是從 k 到 1 的和，所以 func(k + 1) 是從 (k + 1) 到 1 的和。

因此，我們可以得出結論：

函數的數學表示

這個函數 func(n) 計算的是從 1 到 n 的所有正整數的和。這可以表示為：

func(n)=1+2+3+…+n\text{func}(n) = 1 + 2 + 3 + \ldots + nfunc(n)=1+2+3+…+n

數學公式

這個和可以用已知的等差數列和公式表示：

func(n)=n(n+1)2\text{func}(n) = \frac{n(n + 1)}{2}func(n)=2n(n+1)​

所以，這個函數 func(n) 計算的是從 1 到 n 的所有正整數的和，或者用公式表示為：

func(n)=n(n+1)2\text{func}(n) = \frac{n(n + 1)}{2}func(n)=2n(n+1)​

總結

這個函數 func(n) 計算的是從 1 到 n 的所有正整數的和，數學上可以表示為：

func(n)=n(n+1)2\text{func}(n) = \frac{n(n + 1)}{2}func(n)=2n(n+1)​