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一、什麼是力學能？ 在深入探討力學能守恆之前，我們先要了解什麼是力學能。力學能是指與物體機械運動相關的能量，主要包括以下兩種形式： 動能 (Kinetic Energy, KE)： 定義：物體由於運動而具有的能量。 公式：KE = (1/2)mv² m：物體的質量 (kg) v：物體的速度 (m/s) 重點：動能是標量，只有大小，沒有方向。動能恆為非負值。 位能 (Potential Energy, PE)： 定義：物體由於其在力場中的位置而具有的能量。 分類： 重力位能 (Gravitational Potential Energy, GPE)： 定義：物體由於其在重力場中的高度而具有的能量。 公式：GPE = mgh m：物體的質量 (kg) g：重力加速度 (約 9.8 m/s² 或 10 m/s²) h：物體的高度 (m)，相對於選定的參考零點（通常是地面）。 重點：重力位能與參考零點的選擇有關，通常選擇地面為參考零點，但也可以根據問題的方便性選擇其他位置。 彈性位能 (Elastic Potential Energy, EPE)： 定義：彈性物體（例如彈簧）由於形變（壓縮或伸長）而具有的能量。 公式：EPE = (1/2)kx² k：彈簧的勁度係數 (N/m)，表示彈簧的彈性強度。 x：彈簧的形變量 (m)，即彈簧的伸長或壓縮的長度。 重點：彈性位能與彈簧的形變量有關，形變越大，彈性位能越大。 二、力學能守恆定律 定義： 在只有重力或彈力做功的系統中（即，只有保守力做功），動能和位能的總和（即力學能）保持不變。 也就是說，力學能既不會憑空產生，也不會憑空消失，只會從一種形式轉化為另一種形式，但總量不變。 公式表達： 力學能 = 動能 + 位能 = 常數 KE + PE = 常數 (1/2)mv² + mgh + (1/2)kx² = 常數 （如果同時存在重力位能和彈性位能） 更常見的表達： 初始狀態的力學能 = 最終狀態的力學能 KE₁ + PE₁ = KE₂ + PE₂ (1/2)mv₁² + mgh₁ + (1/2)kx₁² = (1/2)mv₂² + mgh₂ + (1/2)kx₂² 適用條件： 只有重力或彈力做功：這是力學能守恆的關鍵條件。 沒有其他外力做功：例如，沒有摩擦力、空氣阻力等。 系統是封閉的：沒有能量與外界交換。 保守力與非保守力: 保守力: 做功與路徑無關,只與起始點與終止點有關。 例子: 重力,彈力 非保守力: 做功與路徑有關。例子: 摩擦力, 空氣阻力 三、如何判斷力學能是否守恆？ 分析受力情況：判斷物體或系統受到哪些力的作用。 判斷做功情況： 如果只有重力或彈力做功，或者雖然有其他力，但這些力不做功（例如，支持力與運動方向垂直），則力學能守恆。 如果有摩擦力、空氣阻力等非保守力做功，則力學能不守恆，部分力學能會轉化為熱能或其他形式的能量。 四、力學能守恆的應用 力學能守恆定律在解決力學問題中非常有用，特別是在以下情況： 單擺運動：擺錘在擺動過程中，重力位能和動能相互轉化，力學能守恆（忽略空氣阻力）。 自由落體運動：物體下落過程中，重力位能轉化為動能，力學能守恆（忽略空氣阻力）。 彈簧-質量系統：質量塊在彈簧的作用下振動，動能和彈性位能相互轉化，力學能守恆（忽略摩擦力）。 滑塊沿光滑曲面下滑：滑塊在重力作用下沿光滑曲面下滑，重力位能轉化為動能，力學能守恆（忽略摩擦力）。 五、解題步驟 明確研究對象和系統：確定你要分析的物體或系統。 判斷力學能是否守恆：檢查是否有摩擦力、空氣阻力等非保守力做功。如果只有重力或彈力做功，可以使用力學能守恆定律。 選擇合適的參考零點：對於重力位能，選擇一個方便計算的高度為零的參考點（通常是最低點）。 列出初始狀態和最終狀態的能量：寫出每一種能量形式的表達式（例如，KE = 1/2 mv², GPE = mgh, EPE = 1/2 kx²）。 應用力學能守恆定律：KE₁ + PE₁ = KE₂ + PE₂ 解方程：求解未知量。 六、注意事項 力學能守恆是有條件的：必須滿足只有重力或彈力做功的條件。 參考零點的選擇不影響結果：只要在計算過程中保持一致即可。 力學能守恆是一種簡便的解題方法：在滿足條件的情況下，可以避免複雜的運動學分析。 如果力學能不守恆：則需要考慮其他形式的能量轉化（例如，摩擦生熱），並使用能量守恆定律（總能量守恆）。 舉例說明 例題：一個質量為 m 的小球從高度為 h 的地方靜止釋放，自由下落，求落地時的速度。（忽略空氣阻力） 分析：只有重力做功，力學能守恆。 解： 初始狀態：KE₁ = 0, GPE₁ = mgh 最終狀態：KE₂ = (1/2)mv², GPE₂ = 0 (以地面為參考零點) 力學能守恆：KE₁ + GPE₁ = KE₂ + GPE₂ 0 + mgh = (1/2)mv² + 0 v = √(2gh) 總結 力學能守恆是高中物理中一個非常重要的概念，它簡化了許多力學問題的求解。理解力學能的定義、力學能守恆的條件和應用，可以幫助你更好地理解和解決相關問題。