115年 - 115-2 台北市立建國高級中學_正式教師甄選試題：數學科#138704

1.若t為實數且滿足方程式，則t的值為_________。

2.空間中有一個六角錐O-ABCDEF，底面為邊長2√2的正六邊形ABCDEF，線段垂直底面且=√7+1，令平面OBF和平面OCE的二面角為θ，則sinθ的值為_________。（答案請簡化為的型式，其中a,b為正整數）

3.實係數多項式f(x)=4x²+bx+c，且滿足f(f(1))=f(f(2))=f(f(3))=d，則數組(b,c,d)=_________。

4.在坐標平面上，橢圓Γ的方程式為。設直線L_m,P是斜率為m且通過P點的直線，其中m＜0，點P為橢圓Γ上的點，設直線L_m,P與x軸、y軸所圍成的封閉三角形面積為A_m,P，考慮所有m＜0及所有橢圓Γ上的點P，則A_m,P的最小值為_________。

5.如下圖，扇形AOB的圓心角∠AOB=θ，=1，圓O₁與、弧均相切，圓O_n+1與圓O_n外切，並與均相切，且令圓O_n的面積為a_n（∀n∈ℕ），則極限的值為_________。

6.形如（其中12≤p≤99）的最簡分數中，最接近的最簡分數為_________。

7.如下圖（示意圖，不代表精準圖形），平面上有一圓內接四邊形ABCD，滿足=5:10:11，∠ACD=3∠ACB，∠ACB＜45°，=48，則線段的長度為_________。

8.在5×5的方格棋盤共25個格子中，要求每一行和每一列都恰有3個格子被塗黑，則有_________種不同的塗法。

9.在坐標平面上，以原點O為圓心的單位圓上有相異三點A,B,C並依此順序逆時針排列，∠AOB=α，∠BOC=β，α,β皆為正實數。若α+β=且平面上恰一點P滿足，則cosα的值為_________。

10.若k為整數且-5≤k≤5，將滿足|x+2y-5|+|3x+4y-k|≤10的所有(x,y)畫在坐標平面上會形成一個封閉區域，設此封閉區域的面積為A，且(A-1)是10的倍數，則所有滿足題意的整數k為_________。

11.若p,q均為質數，且p＜q，則滿足pq|(3^p+3^q)的所有數對(p,q)為_________。

12.如下圖，有一圓桌A～L共12人圍坐，兩兩握手配對（每人須與自己以外的另一人握手），並滿足下列兩條件：

(1)不准交錯握手（例如：若C跟E握手配對，那B跟D就不能握手配對）。

(2)A、D、J三人彼此不握手。則共有_________種不同的握手配對方式。

 (1) 證明：數列⟨a_n⟩滿足遞迴關係式 a_n+1 =，∀n∈ℕ。

(2)設a₁=100，則數列⟨a_n⟩是否收斂？請證明之。

2.若兩實數α與β滿足方程組 ，求α+β的值，並證明之。