115年 - 115-1 國立羅東高中_教師甄選初試︰數學科#138675

1.設a,b,c∈ℝ，且abc=1，ab+bc+ca-3abc=0，a≠1，b≠1，c≠1，求1/(1-bc)+1/(1-ca)+1/(1-ab)之值。

2.求101^15的百萬位的數字。

3.求曲線y=x³-4x和其上一點P(1,-3)處之切線所圍成之區域面積。

4.雙曲線Γ之兩焦點為F₁(0,0)，F₂(2,2)，已知P(2+1/√2, 2-1/√2)為雙曲線Γ上一點，求雙曲線Γ的方程式。

5.數列＜aₙ＞為等差數列，aₙ=log(bₙ)，n=1,2,3,...。已知a₆=27，a₁₀=47，求b₁b₂…b₁₀之值。

6.求函數f(x)=(x-2)³+3(x-2)²-2(x-2)-6在x=-2的一次近似。

7.曲線y=x²-x+1/4和直線y=a，a≠1相交於P，Q兩點，設P(x₁,a)，Q(x₂,a)，x₁＞x₂，求log_a|x₁²-1/4|-log_a|x₁+1/2|+2log_a|x₂-1/2|之值。

8.投擲均勻的骰子四次，出現的點數依次為n₁,n₂,n₃,n₄，在坐標平面上若A(n₁,n₂)，B(n₃,n₄)，求A≠B但向量AB和直線y=x有共同點的機率。

9.在等腰直角三角形ABC中，AB̄=AC̄=4，點P是AB̄上異於A、B的一點，光線從P點出發，經BC̄、CĀ反射後又回到P點。若光線QR經過△ABC的重心，則AP̄=？（化成最簡分數）

10.a，b，c∈ℝ，若行列式|a²+1 ab ac; ab b²+1 bc; ac bc c²+1|=15，求a+2b+3c之最大值。

11.設A(1,-1,2)，B(1,5,-4)，於平面E：x+y+z-5=0上求一點P，使|向量PA-向量PB|為最大，則P之坐標為？

12.設i=√(-1)，對於任意正整數n恆有(1-i)ⁿ=aₙ+ibₙ，其中aₙ，bₙ為實數。已知二階方陣A使得A[aₙ;bₙ]=[aₙ₊₁;bₙ₊₁]，且在坐標平面上，P，Q，R三點經方陣A變換後所對之點分別為P'(1,2)，Q'(4,6)，R'(3,8)，則△PQR的面積為？

13.袋中有編號1，2，…，n號的球各1顆共n顆，自袋中任取2球，以隨機變數X表示取出2球編號的差之絕對值。若X的期望值小於12，則n的最大值為？

14.已知橢圓：x²/m+y²=1（m＞1）和雙曲線：x²/n-y²/3=1（n＞0）有相同的兩個焦點F₁，F₂，點P是它們的一個交點，則tan∠F₁PF₂=？

15.已知函數f(x)=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，圖形在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，則f(x)的極大值與極小值的差為？

16.已知不等式log₂(|2x-1|+|5x-2|)≤3的解可以寫成a≤x≤b，求2a-b=？

1.若a⃗，b⃗為兩個非零向量，證明：a⃗在b⃗上的正射影為(a⃗·b⃗/|b⃗|²)b⃗。

2.拋物線Γ:(x-1)²=8(y+1)及直線L:x-y=k，若拋物線Γ上恆可求出相異兩點P，Q，使得P，Q兩點對直線L成對稱點時，求k的範圍。