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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 101年 - 101 鐵路特種考試_高員三級_電力工程、電子工程：工程數學#34393
101年 - 101 鐵路特種考試_高員三級_電力工程、電子工程：工程數學#34393
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
101年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
8
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 函數 f (t) 之拉氏轉換（Laplace transform）為 L{ f (t)}，則L{ e
2t
sin4t}為何？(A)
(B)
(C)
(D)
2 下列何者可為 y"−2y'+2y = 0 之解？ )(A)y=e
x
(B)y=e
x
+cosx(C)y=cosx(D)y=e
x
cosx
3 若α
m
+ bx
n
為 " x
2
y"+5xy'+3y=0 之通解，則 m + n 之值為何？ (A)-5(B)-4(C)3(D)5
4 求微分方程式
的通解為何？ (A)e
x
sin
2
y+ ycos − siny=c (B)e
x
sin
2
y + ysin y− cosy = c (C)e
x
sin
2
y+ ( y−1)cos y = c (D)e
x
sin
2
y+ cosy + siny = c
5 設微分方程式
，其中 y(0) = 2 ， y'(0) =1。若函數
為此微分方程式之級 數解，試求 α
0
+ α
1
+α
2
值？ (A)
(B)
(C)
(D)
6 求 R
3
中之向量 x = (1,2,−1) 相對於基底 B'={(1,0,1), (0,−1,2), (2,3,−5)}之座標： (A)[x ]
B'
(5, -8, -2) (B)[x]
B'
(1,2, -1) (C)[x]
B'
(5,8, -2) (D)[x]
B'
(1, -2, -1)
7
則 RankA = ？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
8 有一個矩陣
，請問下面何者正確？ (A)此矩陣的秩（rank）為 3 (B)[1 0 0.8] , [0 1 0.2] ,[ 0 0 1] 為矩陣 A 的列空間（row space）基底 (C)
為矩陣 A 的行空間（column space）基底 (D) A 的行列式值 = 0
9
，則 A 的行列式值（determinant）為何？ (A) 123 (B) 234 (C) 456 (D) 567
10 下列何者不為正交矩陣（orthogonal matrix）？ (A)
(B)
(C)
(D)
11 兩連續隨機變數 X 、 Y 之結合機率密度函數（ joint probability density function ） 為
，求機率 P(1≤ X < 3, 2 ≤ Y < 4) =？ (A)
(B)
(C)
(D)
12 一系統由 4 項獨立運作之組件構成，其組件正常運作之機率分別為 0.9，0.7，0.5 及 0.3，令隨機變數 X 為該系統中正常運作組件之數量，則機率 P(X > 0) = ？ (A) 0.9055 (B) 0.9450 (C) 0.9895 (D) 0.9976
13 設一隨機變數（random variable）X，其期望值（mean value） E[X ] = 2，均方差（variance）
。令 Y = 2X ，則E [Y
2
]之值為何？ (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 20
14 在複數 z 平面上，包含無窮遠處之左半平面，經 w = e
z
的映射後，在複數 w 平面上之值域為： (A)一半平面 (B)一直線 (C)一圓碟型區域 (D)一長條型區域
15 下列選項何者正確，其中
： (A)sin(3− 4i) = sin(3)cos(4) − isin(4)cos(3) (B)sin(3 − 4i) = isin(3) cos(4) − sin(4) cos(3) (C)sin(3− 4i) = sin(3) cosh(4) − isinh(4) cos(3) (D)sin(3− 4i) = isin(3) cosh(4) − sinh(4) cos(3)
16 求複數函數積分
之值，其中積分路徑 C 為複數平面上以原點為圓心、半徑為 2 的封閉曲線， 方向為逆時鐘方向。其中
(A)i ⋅ 2π cos(1) (B)π (C) 1 (D) 0
複選題
17 若
，則下列何者正確？ (A)
B)∇×(∇f ) = 0 (C)∇ • (∇ × (∇f )) = 0 (D)∇(∇ • (∇f )) = 0
18 曲線 C 的參數表示式為 x = cos(t) + tsin(t)； y = sin(t) − t cos(t) ； z = t
2
，則其曲度（curvature）為何？ (A)
(B)
(C)
(D) 0
19 讓
u
= 2
i
+
j
+
k
及
v
= 2
i
+
j
+ 2
k
，則
u
於
v
之投影長度為何？ (A) 7 (B)
(C)
(D)
20 曲線 C 的參數表示式為 x = t
2
； y =
t
2
； z = t
2
+3 ，則從點P1 = (0, 0, 3) 到點
的弧線長（arc length）為何？ (A)
(B) 3 (C)
(D)
申論題 (8)
一、請用拉氏（Laplace）轉換法求解以下微分方程式： y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = u(t −1) + δ (t − 2) , y(0) = 0, y'(0) =1；其中 u(t)為單位步階 （unit step）函數，δ (t)為脈衝（impulse）函數。（10 分）
【已刪除】二、有一曲面
，求在點(0,0,4)之切面方程式及法線參數表示 式。（10 分）
⑴A 是否為一正交矩陣（orthogonal matrix）？請簡要說明之。（5 分）
⑵A 的反矩陣為何？（5 分）
⑶ |det(A)| =？（5 分）（亦即矩陣 A 的行列式值的絕對值）
⑴k 值。（5 分）
⑵X 的期望值（mean value）：E[X ]。（5 分）
⑶ X
2
的期望值（mean value）： E [X
2
] 。（5 分）
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(B)
(C)
(D) 
的通解為何？
(A)ex sin2 y+ ycos − siny=c (B)ex sin2y + ysin y− cosy = c
(C)exsin 2 y+ ( y−1)cos y = c (D)exsin2 y+ cosy + siny = c
，其中 y(0) = 2 ， y'(0) =1。若函數 
為此微分方程式之級
數解，試求 α0 + α1 +α2 值？
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
則 RankA = ？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
，請問下面何者正確？
(A)此矩陣的秩（rank）為 3
(B)[1 0 0.8] , [0 1 0.2] ,[ 0 0 1] 為矩陣 A 的列空間（row space）基底
(C)
為矩陣 A 的行空間（column space）基底
(D) A 的行列式值 = 0
，則 A 的行列式值（determinant）為何？
(A) 123 (B) 234 (C) 456 (D) 567
(B) 
(C) 
(D) 
，求機率 P(1≤ X < 3, 2 ≤ Y < 4) =？
(A)
(B) 
(C) 
(D)
。令
Y = 2X ，則E [Y 2]之值為何？
(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 20 
：
(A)sin(3− 4i) = sin(3)cos(4) − isin(4)cos(3) (B)sin(3 − 4i) = isin(3) cos(4) − sin(4) cos(3)
(C)sin(3− 4i) = sin(3) cosh(4) − isinh(4) cos(3) (D)sin(3− 4i) = isin(3) cosh(4) − sinh(4) cos(3)
之值，其中積分路徑 C 為複數平面上以原點為圓心、半徑為 2 的封閉曲線，
方向為逆時鐘方向。其中
(A)i ⋅ 2π cos(1) (B)π (C) 1 (D) 0
，則下列何者正確？
(A) 
B)∇×(∇f ) = 0
(C)∇ • (∇ × (∇f )) = 0 (D)∇(∇ • (∇f )) = 0
(B) 
(C) 
(D) 0
(C)
(D)
t 2； z = t 2+3 ，則從點P1 = (0, 0, 3) 到點
的弧線長（arc
length）為何？
(A) 
(B) 3 (C) 
(D)
，求在點(0,0,4)之切面方程式及法線參數表示
式。（10 分）