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102年 - 102 地方政府特種考試_三等_電力工程、電子工程：工程數學#35583

科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) | 年份：102年 | 選擇題數：20 | 申論題數：4

試卷資訊

所屬科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

選擇題 (20)

1 下列何者為拋物柱面  z = x2 之位置向量參數表示式，其中 u，v 為變數？ (A) ui + uj + u2k (B) ui + vj + u2k (C) vi + vj + u2k (D) vi + vj + v2k
2 下列何者為 之值，其中 C 為一圓： x2+y2=4 （定義逆時針方向為正）？ (A)− 3√ 2 (B) 0 (C)3 √2 (D)2 √7
3 試求向量場 v =sinh(x-z )i + 2 yj +(z-y2 )k 的∇ ⋅(∇× v) 值？ (A) − 2 (B) 0 (C)sinh(x − z) (D) 2y
4 有一矩陣 ，則以下何者為行列式 det(B5 ) 的值？ (A) 1 (B) 5 (C) 32 (D)-32
5 下列矩陣何者非屬基本矩陣（elementary matrices）？ 
6 在螺旋圓弧線r(t) = [3cost, 3sint, 4t]之上，從點 P: (3, 0, 0)到點 Q: (-3, 0, 20π )的弧線長（arc length）為何？ (A) 20π (B) 25π (C) 30π (D) 40π
7 以下那一組是由基底B = {[3 4],[1 0]}經由 Gram-Schmidt 正交程序轉換而成的正交基底？ 
8 令矩陣 ，試問下列何者不是 A 的特徵向量（eigenvector）？ 
9 令 為一複數級數（complex series），則下列敘述何者錯誤？
10 有關複數的性質，何者錯誤？ (A)一個複數的實部（real part）是實數 (B)一個複數的虛部（imaginary part）是實數 (C) |z| + |w| ≥| z + w| ，其中 z,w為複數 (D) ，其中 z 為複數
11 令 為一複數冪級數（complex power series），其中常數  z0 為此級數展開式的中心點（center）。 若已知此冪級數的收斂半徑為 R，則下列敘述何者錯誤？ (A)此冪級數在中心點  z = z0 必定收斂 (B)此冪級數在所有符合 |z −z 0| < R 的複數 z 皆收斂 (C)此冪級數在所有符合|z −z 0|  > R 的複數 z 皆發散 (D)此冪級數在所有符合|z −z 0|  = R 的複數 z 皆收斂或皆發散
12 一微分方程式 y'-y=e2x，下列何者錯誤？ (A)該方程式為線性微分方程式 (B)該方程式為白努利方程式（Bernoulli equation） (C)y=e2x+cex 為該方程式之解 (D)該方程式為齊次（homogeneous）微分方程式
13 若微分方程 之特別解（particular solution）為 ，求 a + b 值？
14 兩個函數，請問下列何者錯誤？ (A)它們不是線性相依 (B)它們的 Wronskian 為 0 (C)它們不是線性獨立 (D)它們的 Wronskian 為 
15 下列何者為函數  當 之傅立葉級數？
16 如微方程式 M (x, y) + N(x, y) y′ = 0有一僅有 y 的函數之積分因子（integrating factor），下列何者恆真？
17 定義函數 f (t) 之拉氏轉換（Laplace transform），令 ，則 f (t) 為 何？其中u(t) 為單位步階（unit step）函數：
18 假設隨機變數 X 的機率密度函數為 ，試求出 k 的值為何？ (A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3/2 (D) 1
19 自一副 52 張撲克牌中取出 3 張牌，試求取出之牌中出現多於 1 張 K 之機率為何？ (A)53/5525(B)73/5525(C)93/5525(D)113/5525
20 給定一個隨機變數 X，其機率密度函數為試問一個隨機變數Y=X2 ，其機率 密度函數 g( y) 為何？

申論題 (4)

【已刪除】一、求Ax = b的最小平方解（least squares solution），其中。 （10 分）
【已刪除】二、利用留數（residue）觀念，試求 之值。（10 分）
【已刪除】三、若 C 為從（1, 1, 1）到（-2, 1, 3）之直線段，且F = xi − yj + zk ，求。 （15 分）
四、已知 f (x) = x, 0 < x < 2π 且 f (x) = f (x + 2π )，求 f (x)之傅立葉半幅正弦展開式。 （15 分）