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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 102年 - 102 高等考試_三級_電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程：工程數學#29418
102年 - 102 高等考試_三級_電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程：工程數學#29418
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
102年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
10
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 有一曲線之參數方程式為 x = 2cost ， y = 2sin t ， z =
t ，其中0 ≤ t ≤ 2π ，請問該曲線弧長為何？ (A) 2π (B)3π (C) 4π (D)6π
2 下列何者為線積分 ∫
C
yzdx+ xzdy+ xydz 之值，其中曲線 C : x = t
2
； y = t ； z = t + 3 ，而0 ≤ t ≤1？ (A) 2
(B)3
(C) 4 (D) 3
3 下列何者為 ϕ=2xz + e
y
z
2
= 在點(2,1,1) 於 2i + 3 j − k 之方向上之方向導數（directional derivative）？ (A)e /
(B)e (C)
(D)
4 下列集合中之向量，何者為線性獨立（linear independent）？ (A){ (1,1),(1,2),(3,4)} (B){(1,3),(2,0),(−1,3),(7,3)} (C){ (2,3,0),(1,−2,4),(1,1,0),(1,1,1) } (D){(2,0,1,−3),(0,1,1,1),(2,2,3,0)}
5 若ϕ (x, y,z) = xy − yz + xyz ，則其在點 P = (0, −1,1)於方向 u = i + j + k 的改變率（rate of change）為何？ (A) − 2 (B) 2 (C)
(D)
6 若 A 是 n× n 的對稱實數矩陣，則下列那一項是錯的？ (A)
A
一定可以對角化 (B)其特徵值不會有相同的 (C)其特徵值一定是實數 (D)
A
的行列式值等於其所有特徵值之乘積
7 設 A 及 B 為任二 n× n矩陣，則下列敘述何者不恒真？ (A) (A + B)
T
= A
T
+ B
T
(B) (
AB
)
T
=
B
T
A
T
(C)若
A
及
B
均為對稱矩陣（symmetric matrix），則
AB
及
BA
也必為對稱矩陣 (D)
AA
T
及
A A
T
均為對稱矩陣
8 令矩陣 A=
，其逆矩陣
A
-1
表為[bij]，則下列何者錯誤？ (A)b1
2
(B)b
21
(C)b
23
(D)b
32
9 若B=
則B
2
= O ；試求 =e
Bt
？ (A)(B)(C)(D)
10 設
A 、B
均為3×3的矩陣，若
A 、B
的行列式值分別為det(
A)
= −2、det(
B
) = 3。則det(−2
AB
)之值為 何？ (A) 12 (B) −12 (C) 48 (D) − 48
11 試計算i ( i
2
− i) 之值，其中i =
： (A)
， n為任意整數 (B)
， n為任意整數 (C)
， n為任意整數 (D)
， n為任意整數
12 複數函數 f (z) = |z|
2
在下列何點可微分？ (A) z = −1 (B) z = 0 (C) z =1 (D) z = i
13 求複變函數積分 ∫
C
|z| dz 之值，其中積分路徑C 為複數平面上由原點至點 2 − 2i 的直線，其中i =
： (A)
(1+ i) (B)
(1− i) (C)2
(1+ i) (D) 2
(1− i)
14 求解微分方程5y′′ − 3.5y′ + 0.6y = 0 ，其解為： (A)
(B)
(C)
(D)
15 求解微分方程 y
(4)-
29 y′′+ 100 y= 0 ，其解為： (A)
(B)
(C)
(D)
16 微分方程式x
3
(1− x) y′′ + 2xy′+ y = sin(x) 有幾個奇異點（singular points）？ (A) 2 個 (B) 3 個 (C) 4 個 (D)無窮多個
複選題
17 求解微分方程 y′ + y = y
2
，其解為： (A) y = 1+ ce
x
(B)y=
1
/ ( 1+ce
x
) (C) y =1− ce
x
(D) y =
1
/1(1- ce
x
)
18 令 X 及Y 為均勻（uniformly）分布於 (0,1) 之二獨立（independent）連續隨機變數（continuous random variable），試求 ⎟ = (A)
(B)
(C)
(D)
19 F(s) 為 f (t) 之拉普拉斯（Laplace）轉換，則u(t − a) f (t − a) 之拉普拉斯轉換為何？其中u(t) 為單位步階函 數及 a > 0 ： (A)e
αs
F(s) (B)e
-
αs
F(s) (C) F(s − α ) (D) F(s + α)
20 隨機變數 X 之期望值（expected value）E(X ) = 3，變異數（variance）Var(X ) = 5，則 E(3+ 4X+ 5X
2
) = ？ (A) 38 (B) 65 (C) 85 (D) 93
申論題 (10)
⑴利用高斯消去法求解 AX = B 。（5 分）
⑵利用反矩陣（matrix inverses）方法求解 AX = B 。（5 分）
⑶利用 Cramer's 法則（Cramer's rule）求解 AX = B 。（5 分）
⑴求 f (z)以 z =1為中心展開的羅倫級數（Laurent series）。（7 分）
⑵求 f (z)在 z =1的留數（residue）。（3 分）
⑴ y′′ −10y′ + 25y = 0之通解（general solution）。（5 分）
⑵ y′′ + 4y = 8; y (π /
4
)= y (π/
2
) 1之解。（5 分）
⑶
x³
y′′′ +
x
2
y′′ − 4y′ = 之通解。［註： x > 0］（5 分）
⑴求 X 與Y 之共變異數（covariance），Cov[X ,Y]。（7 分）
⑵求 X 與Y 之相關係數（correlation coefficient），ρ
X ,Y
。（3 分）
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t ，其中0 ≤ t ≤ 2π ，請問該曲線弧長為何？
(A) 2π (B)3π (C) 4π (D)6π
(B)3 
(C) 4 (D) 3
(B)e (C) 
(D)
(D) 
，其逆矩陣 A-1 表為[bij]，則下列何者錯誤？
(A)b12
(B)b21
(C)b23
(D)b32
則B 2 = O ；試求 =e
Bt ？
(A)(B)(C)(D)
：
(A) 
， n為任意整數 (B)
， n為任意整數
(C)
， n為任意整數 (D) 
， n為任意整數
：
(A) 
(1+ i) (B)
(1− i) (C)2 
(1+ i) (D) 2
(1− i)
(B)
(C)
(D)
(B)
(C)
(D)
(B)
(C)
(D)