104年 - 104 大學入學考試中心_指定科目考試：數學甲#52586

科目：高中指考◆數學甲 | 年份：104年 | 選擇題數：8 | 申論題數：9

試卷資訊

所屬科目：高中指考◆數學甲

選擇題 (8)

1. 滿足不等式

的整數 x 共有多少個？ (A) 9 個 (B) 10 個 (C) 11 個 (D) 12 個 (E)13 個

2. 考慮坐標平面上的直線 L :3x -2 y = 1。若 a 為實數且二階方陣

所代表的線性變換可以將 L 上的點變換到一條斜率為 2 的直線，則 a 的值為下列哪一個選項？ (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E)14

3. 設複數平面上的相異四點 z1,z2, z3,z4依序且依逆時針方向可連成一個正方形。下列哪一個選項為

複選題

4. 坐標平面上有 A、 B、 C 三點，滿足 ∠ABC 為直角，

= (4,2) 。請選出可以為向量

的選項。 (A) (-2,4) (B) (2, -4) (C) (2,6) (D) (-2,6) (E)(6,-2)

複選題
5. 設實係數多項式 f (x ) 滿足 f (1+i ) = 5與 f( i)= 10 （其中

），且 f ( x ) 除以 (x²-2 x+2) (x²+1)的餘式為 g x( ) 。請選出正確的選項。 (A) g(1+i)=5 (B) f(-i)=-10 (C) g( x) 除以x²-2x+2 的餘式是一次多項式 (D) g( x ) 除以 2x²-2x+2 的商式是 2x+1 (E) g(x)=2x³-7x²+2x+3

複選題
6. 設 f(x) 為實係數二次多項式， g (x ) 為實係數三次多項式。已知 y= f(x)的圖形與 x 軸交於 x = -4與 x = 0，而 y= g(x )的圖形與 x 軸交於x = -4, x = 0 及 x = 4，且 f ( x ) 與g ( x) 的（相對）極小值皆發生於 -4<x<0 。請選出正確的選項。 (A)f(x)與g(x)的最高次項係數皆為正 (B)f(x)的（相對）極小值發生於 x = -2 (C)g(x)的（相對）極小值發生於x=-2 (D) g(-1)=g(-3) (E)g(-1)=-g(1)

複選題
7. 坐標平面上有一以原點 O為圓心的圓 C，交直線 x - y +1 = 0 於 Q , R兩點。已知圓 C 上有一點 P 使得△PQR 為一正三角形。請選出正確的選項。 (A) O 點與 P 點皆在

的中垂線上 (B) P 點在第三象限 (C)

的中點坐標為

(D) 圓 C 的方程式為 x²+y²=2(E)直線 x-y-1=0為圓 C 在 P 點的切線

複選題
8. 被診斷為不孕症的患者，可分為兩類：第一類為可藉人工方式受孕；其餘患者為第二類，無法藉由人工方式受孕。第一類在不孕症的患者中所佔比例為 p （ 0 (C) 若醫學進步，讓人工受孕成功的機率 q 提高了，則在人工受孕失敗一次的情況下，屬於第二類不孕症患者的條件機率會降低 (D) 在第一類的患者中，做一次人工受孕就成功的機率大於做兩次才成功的機率 (E)若醫學進步，讓人工受孕成功的機率 q 提高了，則在第一類的患者中，做一次人工受孕就成功的機率會增加，而做兩次才成功的機率會降低

申論題 (9)

【已刪除】A. 設 a , b為實數， f ( x) 為 5 次實係數多項式且其最高次項係數為 a 。若 f (x ) 滿足

【已刪除】

B. 坐標空間中，設 P , Q 為平面3x-2y-2z=1 上兩點且滿足

= 7。另取空間中兩點 P' , Q' 滿足向量

( 3,4,6) 。當向量

時，會使得平行四邊形 PQQ P' '面積最大。

【已刪除】C. 一盒子裡有 n ( n> 3) 顆大小相同的球，其中有 1 顆紅球、 2 顆藍球以及 n - 3 顆白球。從盒子裡隨機同時抽取 3 球，所得球的計分方式為每顆紅球、藍球及白球分別為 2n 分、 n 分及 1 分。若所得分數的期望值為 En ，則

(1) 試求時針針尖每分鐘所移動的弧長。（ 3分）

(2) 已知時針針尖與分針針尖距離為 7 公分，求時針和分針所夾的角度。（ 4分）

(3) 試問在六點與六點半之間，時針針尖與分針針尖的距離最接近 7 公分是在六點幾分（取至最接近的整數分鐘）？（ 4分）

(1) 將 a₆ 寫成兩個等比級數的差，其中一個有 6項，另一個有 3項。（ 2分）

【已刪除】(2) 求

的值。（ 3分）

【已刪除】(3) 證明：當 n ≥ 0 時 a_2n+2-a_2n<0 。並依此說明對於所有正整數 n ，不等式

恆成立。（ 8 分）