107年 - 107 大學入學考試中心_指定科目考試：數學甲#98887

1. 設 A為 3×3矩 陣，且 對 任 意 實 數 a,b,c，均 成 立。試 問 矩 陣 為何？ (A) (B) (C)(D) (E)

2. 坐標平面上，考慮 A(2,3) 與 B(  −1,3) ，並設 O 為原點。令 E 為滿足的所有點 P 所形成的區域，其中 − 1 ≤ a  ≤1， 0 ≤ b≤4 。考慮函數f(x)=x²+ 5，試問當限定 x為區域 E 中的點 P(x ,y  ) 的橫坐標時， f (x )  的最大值為 何 ？ (A) 5 (B) 9 (C) 30 (D) 41 (E) 54

3. 某 零 售 商 店 販 賣「 熊 大 」與「 皮 卡 丘 」兩 種 玩 偶，其 進 貨 來 源 有 A , B, C 三家廠 商。已知此零售商店從每家廠商進貨的玩偶總數相同，且三家廠商製作的每 一種玩偶外觀也一樣，而從 A,  B, C 這三家廠商進貨的玩偶中，「皮卡丘」所占 的比例分別為。阿德從這家零售商店隨機挑選一隻「皮卡丘」送給 小安作為生日禮物，試問此「皮卡丘」出自 C 廠商的機率為何？ (A) (B) (C) (D)(E)

4. 設f (x)=-x²+499 ， 且 試選出正確的選項。 (A) A表示在坐標平面上函數y=- x²+499的圖形與直線 y = 0、 x = 0 、 x =10 所 圍成的有界區域的面積 (B) B ＜ C (C) B ＜A  (D) C＜ D (E) A＜ D

5. 坐標平面上，已知直線 L與函數  y = log₂ x 的圖形有兩個交點 P( a,b ),Q ( c,d )， 且 的中點在 x軸上。試選出正確的選項。 (A) L的斜率大於 0 (B) bd = −1 (C) ac =1 (D) L的 y 截距大於 −1 (E) L的 x截距大於 1

6. 坐標空間中，有 四個向量，滿足外積 的向量長度均為 4。 設向量的夾角為 θ （其中 0 ≤ θ ≤ π ），試選出正確的選項。 (A) (B)所張出的平行六面體的體積為 16 (C) 兩兩互相垂直 (D) 的長度等於 4 (E) 的夾角等於 θ

7. 設 O 為 複 數 平 面 上 的 原 點，並 令 點 A, B 分別代表複數   z₁, z₂ ，且 滿 足 |z₁|= 2， |z₂| = 3， ，其中 a , b為實數， 。試選出正確的選項。 (A) (B)(C) a ＞ 0 (D) b ＞ 0 (E) 設 點 C 代 表， 則 ∠BOC 可能等於

8. 設 f ( x ) 為一定義在非零實數上的實數值函數。已知極限存在，試選出正確的選項。 (A) 存 在 (B) 存 在 (C) 存 在 (D) 存 在 (E)→ 存 在

A. 坐標平面上，已知圓 C 通過點 P( − 0, 5)，其圓心在 x = 2 上。若圓 C 截 x軸所成之弦 長 為 6，則其半徑為。（化成最簡根式）

B. 假設某棒球隊在任一局發生失誤的機率都等於 p（其中 0＜ p  ＜ 1 ），且 各局之 間發生失誤與否互相獨立。令隨機變數 X 代表一場比賽 9 局中出現失誤的局 數，且令 p_k  代 表 9 局中恰有 k 局出現失誤的機率 P(X=k)    。已知 ， 則該球隊在一場 9 局的比賽中出現失誤局數的期望值為 。（化成最 簡分數）

C. 設 A ,B ,C ,D為圓上的相異四點。已知圓的半徑為，兩線段 互 相 垂 直，如 圖 所 示（ 此 為 示 意 圖，非 依 實 際 比 例 ）。則的長度為。 （化成最簡根式）

(2) 試證明向量 與平面 BDE 垂直。（ 2 分 ）