申論題

步階信號是一種常見的數位信號，其特點是只在某個特定的時刻發生突變，其他時間則保持恒定。因此，步階信號可以用離散時間函數來表示。在數位信號處理中，步階信號通常可以用單位階躍函數來表示。

單位階躍函數通常用u(t)來表示，其中t表示時間。在離散時間系統中，單位階躍函數可以用一串等差數列的和來表示，其數學運算式為：

u[n] = n*a[n] + (n-1)*a[n-1] + (n-2)*a[n-2] + ... + (a[n-k+1])*a[n-k+1] + ... + a[0]

其中n表示離散時間點的編號，a[n]表示在n時刻的採樣值，k表示步階信號的長度。

因此，對於一個長度為k的步階信號，其離散時間函數可以表示為：

f[n] = u[n] - u[n-1] = n*a[n] + (n-1)*a[n-1] + ... + a[1] - (n-1)a[n-1] - ... - a[0] = na[n] - (a[0] - a[n-1])

其中f[n]表示步階信號在離散時間點n的值。

需要注意的是，在實際應用中，步階信號的採樣值a[n]通常取為1或-1，以便實現數位信號的傳輸和處理。