申論題

一、下圖為一彈簧連接雙質量系統，其中 m₁ 與 m₂ 以及 x₁ 與 x₂ 分別表示各個質量和位移，k 為彈簧的彈簧常數（spring constant），f 則是所施加的力。 假設兩質量均置於無摩擦的平面上，則此系統可由如下的動態方程式所描述。

今為控制質量 m₂ 的位移 x₂ ，假設施力 f 可設計為下列之比例-微分 （proportional-derivative）控制器形式：

其中 a 與 b 即是微分增益（gain）與比例增益，而 則是位移輸入命令。

(一)推導出輸出x₂對輸入之轉移函數（transferfunction）。（10分）