申論題

一、人工智慧的興起，帶動了市場對晶片需求量的飆升，也連帶促成相關產業的蓬勃發展。已知國內有某家公司專門生產晶片半導體製程中使用的圓形光罩。今由此公司之生產線隨機抽檢 n 筆光罩樣本並測量其半徑。 若已知因某些特定原因造成該公司測量儀器不精準，測量之觀測值會有誤差，令 ε₁ , ε₂ ,...,ε_n 表其觀測誤差。假設觀測誤差 ε₁ , ε₂ ,..., ε_n 彼此相互獨立且服從平均數為 1，變異數為σ² 之常態分配，並令θ為此圓形光罩的真實半徑 。 令變數 Y₁ , Y₂ ,..., Y_n為此 n 筆樣本之半徑的觀測值，則。 令 F ( y ) 為變數Y_i之累積分配函數 （ cumulative distribution function）。（每小題 10 分，共 80 分）

(六)若該公司有兩條獨立作業的生產線，且已知此兩條生產線所生產之光 罩的瑕疵率皆為λ。令變數 S_i 為第 i 條生產線上檢測產品直到檢測出第一個瑕疵品前所需的檢測（良品）次數，i =1,2 ，請求出機率 P[ S₁= S ₂ ] 。

(七)續題(六)，令變數U= Min{S₁ , S₂ } 代表取 S₁ , S₂ 之最小值，請求出U之機率密度函數 f (u ) 。