申論題

一、考慮一簡單線性迴歸模型Y_i  = α + βXi  + εi , i=1,…,n, 其中Y_i為因變數，X_i 為自變數，  ε_i 為誤差項且與 Xi獨立。另外，也假設  ε_i （i=1,…,n）具有獨 立且相同的常態分布 N(0, σ²)    ，其中  σ² 表變異數。（每小題 5 分，共 20 分）

(四) 假設自變數 Xi 無法直接被觀察到，而是觀察到一個替代變數 W ,i 1,..., n,  , Wi = X_i + δ _i , δ i 為白噪音（white noise）與其他變數均獨 立，且δ i（i=1,…,n）具有獨立且相同的常態分布N(0,1)。此時若將Wi取 代最小平方估計式βˆ 中的Xi，並令所得之新估計式為βˆ _w  。說明此βˆ _w  是 否仍具有不偏性？當 n 很大時，β w ˆ 的漸近偏差為何？在此情形下是否 可提供較佳的估計式（以式子說明概念或作法，無需列出詳細結果）？