⑶請證明 R 滿足第三正規化（3NF）或反證 R 不滿足 3NF。（4 分）

要證明關係 ?(?,?,?,?)R(A,B,C,D) 是否滿足第三正規化形式（3NF），我們需要首先了解什麼是第三正規化形式：

第三正規化形式（3NF）的定義

一個關係 ?R 若要滿足 3NF，需要滿足以下條件：

1. 它必須已經滿足第二正規化形式（2NF）。
2. 對於每個非平凡的函數相依 ?→?X→Y，以下至少一條成立：
   • ?X 是超鍵（Superkey）。
   • ?Y 是主屬性（Primary Attribute）（即屬於某個候選鍵的一部分）。

分析關係 ?R

我們已知：

• 候選鍵：{A, B, D}
• 功能相依：
  1. {?,?,?}→?{A,B,D}→C
  2. {?,?}→?{C,D}→B

在這裡，我們需要檢查這些功能相依是否符合 3NF 的條件。

1. 檢查 2NF

在之前的分析中，我們已經確定關係 ?R 滿足 2NF。所有非主屬性沒有對候選鍵的部分相依。

2. 檢查每個函數相依

我們需要檢查每個功能相依，確定它們是否滿足 3NF 的條件：

1. 檢查 {?,?,?}→?{A,B,D}→C

   • {?,?,?}{A,B,D} 是候選鍵，因此它是超鍵。
   • 這個函數相依滿足 3NF 的第一個條件（因為 ?X 是超鍵）。

2. 檢查 {?,?}→?{C,D}→B

   • {?,?}{C,D} 不是候選鍵，因此不是超鍵。
   • ?B 是主屬性的一部分（因為候選鍵是 {?,?,?}{A,B,D}），但這不是第三正規化所需的條件，因為主屬性需要是右側。

因此，{?,?}→?{C,D}→B 的這個函數相依不滿足 3NF 的條件。

結論

由於存在一個函數相依 {?,?}→?{C,D}→B 不能滿足 3NF 的條件，即左側不是超鍵且右側也不是完全是主屬性，關係 ?R 不滿足第三正規化形式（3NF）。

為了使關係 ?R 滿足 3NF，我們需要將其分解，使其所有的函數相依滿足 3NF 的條件。通常，我們可以將其分解成如下形式：

1. ?1(?,?,?,?)R1(A,B,D,C) 其中 {?,?,?}→?{A,B,D}→C
2. ?2(?,?,?)R2(C,D,B) 其中 {?,?}→?{C,D}→B

這樣，每個新的關係都滿足 3NF，因為每個關係中的函數相依都是以超鍵來決定非主屬性。

所以，根據上述分析，關係 ?R 不滿足第三正規化形式（3NF）。