申論題

Bubble Sort（冒泡排序）
Bubble Sort 是一種簡單的排序算法，它重複地遍歷待排序的數列，比較相鄰的元素，並在必要時交換它們的位置。每一次遍歷序列後，至少有一個元素會被移動到其最終位置。這個過程重複，直到沒有更多的元素需要交換，意味著數列已經排序完成。

虛擬碼（Pseudo-code）
下面是 Bubble Sort 的虛擬碼表示：

plaintext
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function bubbleSort(array):
    n = length(array)
    do
        swapped = false
        for i = 1 to n-1:
            if array[i-1] > array[i]:
                swap(array[i-1], array[i])
                swapped = true
        n = n - 1
    while swapped
虛擬碼解釋
初始化數列長度 n。
進入一個 do-while 循環，循環條件是 swapped 變量，它檢查在一次完整的遍歷中是否有元素被交換過。
對數列從頭到尾進行一次遍歷，比較相鄰的元素，並在必要時進行交換。
如果發生交換，將 swapped 設為 true。
經過每一次的遍歷，減少 n 的值（最大的元素已經在正確的位置，無需再次檢查）。
當一次遍歷中沒有任何交換時，表示排序已完成，退出循環。
效能分析（Big-O）
最壞情況時間複雜度：O(n^2)
當數列完全逆序時，每個元素都需要與它之後的每個元素比較並可能交換，這導致了 n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n(n+1)/2 次比較，簡化後的時間複雜度為 O(n^2)。
最佳情況時間複雜度：O(n)
當數列已經完全排序時，第一次遍歷發現沒有需要交換的元素，因此只遍歷了一次數列，執行了 n-1 次比較。
平均情況時間複雜度：O(n^2)
對於隨機排列的數列，冒泡排序幾乎總是會執行接近最壞情況的比較次數。
空間複雜度：O(1)
Bubble Sort 是一種原地排序算法，它不需要額外的存儲空間，除了少數臨時變量外。
結論
Bubble Sort 因其實現簡單而被廣泛學習，但由於其平均和最壞情況下的性能，它通常不適用於大規模數據集的排序。在實際應用中，更高效的排序算法（如快速排序、堆排序或归并排序）通常會被選用。