解題步驟詳解：
第一步：分析輸入電流信號，轉換為相量 (Phasor)
- 電流形式： i(t) = 5√2 sin(2t) A。這是一個標準的正弦波電流。
- 峰值 (Peak Value, I_m)： 從形式 I_m sin(ωt) 中，我們讀出峰值 I_m = 5√2 A。
- 角頻率 (Angular Frequency, ω)： 從 sin(ωt) 中，讀出 ω = 2 rad/s。這是計算電感抗和電容抗所必需的。
- 有效值 (RMS Value, I_rms)： 對於正弦波，有效值 = 峰值 / √2。 I_rms = (5√2 A) / √2 = 5 A。 題目最終要求電壓的有效值，因此我們先將電流轉換為有效值是方便的。
- 相量 (Phasor, I)： 相量表示法通常以餘弦函數 cos(ωt) 作為 0° 相位的參考。我們需要將 sin 轉換為 cos： sin(θ) = cos(θ - 90°) 所以，i(t) = 5√2 sin(2t) = 5√2 cos(2t - 90°)。 相量 I 的大小是有效值 I_rms，角度是餘弦函數的相位角。 I = I_rms ∠(相位角) = 5 ∠-90° A (也可以寫成 -j5 A)。
第二步：計算電路中各元件在 ω = 2 rad/s 時的阻抗 (Impedance, Z)
- 電阻 (Resistor)： 電阻的阻抗就是其電阻值，沒有虛部。
- Z_R1 = 6 Ω
- Z_R2 = 1 Ω
- Z_R3 = 1 Ω
- 電感 (Inductor)： 電感的阻抗（感抗）是 Z_L = jωL。
- Z_L = j * (2 rad/s) * (0.5 H) = j1 Ω
- 電容 (Capacitor)： 電容的阻抗（容抗）是 Z_C = 1 / (jωC) = -j / (ωC)。
- Z_C = 1 / (j * 2 rad/s * 0.5 F) = 1 / (j1) = -j1 Ω (因為 1/j = -j)
- Z_C = -j1 Ω
第三步：計算 A、B 之間的總等效阻抗 (Z_eq)
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計算中間並聯部分的阻抗： 電路包含兩個並聯的支路。
- 支路 1 (RL 串聯)： Z₁ = Z_R2 + Z_L = 1 + j1 Ω
- 支路 2 (RC 串聯)： Z₂ = Z_R3 + Z_C = 1 + (-j1) = 1 - j1 Ω
- 兩支路並聯 (Z_parallel)： 並聯阻抗公式 Z_p = (Z₁ * Z₂) / (Z₁ + Z₂)
- 分子：Z₁ * Z₂ = (1 + j1) * (1 - j1) = 1² - (j1)² = 1 - (j² * 1²) = 1 - (-1 * 1) = 1 + 1 = 2
- 分母：Z₁ + Z₂ = (1 + j1) + (1 - j1) = 1 + 1 + j1 - j1 = 2
- 所以，Z_parallel = 2 / 2 = 1 Ω
- 結果分析：這表示中間這個 RL 和 RC 的並聯組合，在 ω=2 rad/s 時，其總阻抗恰好等於 1Ω 的純電阻，電抗部分互相抵消了。
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計算總等效阻抗 (Z_eq)： 總阻抗是 R₁ (6Ω) 與 中間並聯部分的阻抗 Z_parallel (1Ω) 相串聯。
- Z_eq = Z_R1 + Z_parallel = 6 Ω + 1 Ω = 7 Ω
- 結果分析：整個電路在 ω=2 rad/s 時，對電流源來說，相當於一個 7Ω 的純電阻。
第四步：計算電壓 V_AB 的相量 (V_AB)
- 應用歐姆定律相量形式： V = I * Z
- A、B 兩點間的電壓相量 V_AB 等於流過總阻抗的電流相量 I 乘以總阻抗 Z_eq。
- V_AB = I * Z_eq
- V_AB = (5 ∠-90° A) * (7 Ω)
- 阻抗 Z_eq = 7 Ω 是純電阻，可以寫成 7 ∠0° Ω
- V_AB = (5 * 7) ∠ (-90° + 0°)
- V_AB = 35 ∠-90° V (或 -j35 V)
第五步：得到 V_AB 的有效值
- 相量的大小即為有效值： 電壓相量 V_AB = 35 ∠-90° V，其大小 (Magnitude) 代表了該電壓的有效值。
- |V_AB| = 35 V。
阿摩線上測驗
登入
sin 2t，則 VAB 之有效值為_____伏特(V)。