申論題

2. 三國時代數學家劉徽的「割圓術」是數學中求得圓周率的方法之一。他發現 可以用圓內接正多邊形的面積來逼近真正圓面積的方法中推得圓周率π的近似值。他利用圓內接正 192 邊形，計算出圓周率近似值約為 ，換算小數約 為 3.14。下圖是割圓術之部分架構，可以發現圓內接正 12 邊形的面積大於圓內接正 6 邊形的面積，依此類推，若能夠讓圓內接正多邊形的邊數趨於無限 就可以算出圓面積。圖中△OAB表示圓內接正 6 邊形之一三角形， 表示圓內接正 12 邊形之一三角形，且他發現可以由圓內接正 6 邊形估算圓內接 正 12 邊形面積，圓正 12 邊形估算正 24 邊形面積，依此類推。他寫下估算公式為

，其中表示圓內接正N邊形邊長，且N是 6 的倍數， r表示圓半徑。又假設

，則利用(1)和(2)可以估算π的近似值。根據前述，N=12即可估算圓內接正24 邊形之面積，問此時回推之π 的近似值是多少？(10%)（已知）