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高中◆資優◆數學
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112年 - 112 高雄中學科學班入學考試題：數學#119145
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9. 在直角三角形△ABC中，∠A = 90°，
= 13，
= 12。已知存在一圓，其圓心落在線段
上，該圓通過點A，且與線段
相切，試求此圓的面積。
其他申論題
5. 有一個填符號遊戲，只要在最下層的O中填入符號「+」或「-」，則上層中所有的O就會自動顯示符號「+」 或「-」其中之一。規則如下：(1) 若相鄰的兩個O中符號相同，則上面的O顯示「+」，如圖一所示(2) 若相鄰的兩個O中符號不同，則上面的O顯示「-」，如圖二所示在圖三中，若要使得最上層的O中顯示「+」，則最下層有多少種填法？
#507011
6. 將正整數1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…依下列規則排列，若將橫排稱為列，直排稱為行，我們可以用列與行來描述某個正整數的位置。例如：第2列第3行的數字為9。若2023在第m列第n行，試求數對（m,n）。
#507012
7. 如右圖，以為直徑作半圓，O為圓心，C為中點。為圓O的切線，，若D為此半圓上的一點且，試求的長。
#507013
8. △ABC中，，I為△ABC的內心，過I作平行的直線分別交於D,E兩點，試求 的長。
#507014
10. 已知銳角三角形△ABC的外心為O，線段的中點分別為M,N。假設∠ABC = 4∠OMN、∠ACB = 6∠OMN，試求角度∠OMN。
#507016
11. 在直角坐標平面上，O為原點，方程式3x-y=0所表示的圖形為直線L，點A的坐標為(0,3)，點P在直線L上，若△AOP為等腰三角形，試求點P的坐標。(答案不止一解)
#507017
12. 設m、n為正整數，若17m+85n是完全平方數且不超過2023，則數對(m,n)共有多少組？
#507018
13. 請問有多少個整數a，能夠使得一元二次方程式x2+ax+6a=0的解皆為整數？
#507019
14. 等腰直角三角形△ABC中，∠A = 90°，點D落在邊上且=6、= 2 。四邊形DEFG為正方形，落在三角形△ABC內部，點F落在邊上，且。若，則正方形DEFG的面積為何？
#507020
二、計算證明題： 15. 是否存在三個整數 x,y,z 使得(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x) = 20232 ? (8%) 若存在，請寫出一組(x,y,z)，若不存在，請說明理由。(只寫是或否，本題不予計分。)
#507021
= 13，
= 12。已知存在一圓，其圓心落在線段
上，該圓通過點A，且與線段
相切，試求此圓的面積。
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= 13，= 12。已知存在一圓，其圓心落在線段上，該圓通過點A，且與線段相切，試求此圓的面積。