115年 - 115 新北市公立高級中等學校_教師聯合甄選試題：數學科#139227

1. 與115互質的正整數，由小到大排列形成一數列，例如：1,2,3,4,6,7,⋯，試問此數列第2026項為何？

2. 小明將自己的生日，月份寫成兩質數的和，日期寫成兩質數的差，最後將此四個質數相乘，得到2590。試問小明的生日是幾月幾日？

3. 已知正實數 \(a\)、\(b\)、\(c\) 滿足 \(a^a = 2\sqrt[3]{b^b} = 5\sqrt[3]{c^c} = 10\)，則 \(10\left[(a\log a)^3+\left(b\log_2 b\right)^3+\left(c\log_5 c\right)^3\right]+3abc(\log a)(\log_2 b)(\log_5 c)\) 的值為何？

4. 已知實係數多項式方程式 \(x^3+ax^2+bx+8=0\) 恰有兩根相等且 \(ab=8\)，則 \(a-b\) 的值為何？

5. 坐標平面上，已知水平線 \(y=k\) 上恰有相異四個點，可與點 \(A(2,-2)\)、點 \(B(-1,2)\) 形成等腰三角形，試問這樣的 \(k\) 共有幾種可能？

6. 空間中有一個三角形，其三個頂點坐標分別為 \(A(-3,-2,1)\)、\(B(3,1,1)\)、\(C(-1,0,2)\)，若此三角形的內切圓半徑為 \(a+b\sqrt{c}+d\sqrt{e}+f\sqrt{g}\)（有理化至最簡根式），其中 \(a,b,c,d,e,f,g\) 都是有理數，則 \(c+e+g\) 的值為何？

7. 已知函數 \(f\) 滿足 \(f(1+x)+f(1-x)=|x|^{2025}\)，則積分 \(\int_0^2 f(x)\,dx\) 之值為？

8. 給定一個初始數列，將相鄰兩項，用右邊的項減左邊的項後所得到的值寫在此兩項中間，這樣稱作一個操作。例如：初始數列為3,8，操作一次後變3,5,8，操作第二次變3,2,5,3,8，操作第三次後變成3,-1,2,3,5,-2,3,5,8。現在初始數列改為115,2026，試問操作20次後得到的數列，其各項總和為多少？

9. 已知正整數數列 \(a_n\)（\(n\in\mathbb{N}\)）滿足 \(a_1=2^{2026}(2^{2026}-1)\) 且 \(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2}\)（\(a_n\) 為偶數）或 \(a_{n+1}=3a_n+1\)（\(a_n\) 為奇數），則此數列從第幾項開始為1，並且開始形成週期數列？

10. 已知 \(a\)、\(b\)、\(\theta\) 為實數，其中 \(a^2+b^2＞4\)，則 \(f(a,b,\theta)=\sqrt{(a-2\cos\theta)^2+(b-2\sin\theta)^2}+\sqrt{(a+3)^2+(b-4)^2}\) 的最小值為何？

1. 已知 \(x\)、\(y\)、\(z\) 三數滿足 \(x+y+z=1\) 且 \(x^3+y^3+z^3=2026\)，則 \((x+y)(y+z)(z+x)\) 之值為何？

2. 設 \(\triangle ABC\) 中，三邊長 \(\overline{AB}=c\)、\(\overline{BC}=a\)、\(\overline{CA}=b\) 且 \(b＞c\)，若 \(\angle BAC=30^\circ\)，則 \(\dfrac{b^2-c^2}{a^2}\) 的最大值為何？