115年 - 115-1 臺南市立沙崙國際高級中學高中部_教師甄選試題：數學科#138673

1. 已知| logx | = ax +b 的三個實根成等比且公比為 2 ，試求 10^b 的值。

2. 如下圖，在 3✖3 方格中，隨機塗上紅色、黃色及綠色，且每種顏色各占 3 格，試求出現「賓果」(即某一橫列、直行 或對角線的顏色完全相同)的機率。

3. 設實數 x 、 y 滿足x²+y² = 4 ，試求x³+y³-3xy的最大值。

4. 設複數 z 滿足  z¹⁰ =1 且 z ≠1 ，試求 。

5. 設 n 為正整數，若 xⁿ除以 ( x-2)( x-3)(x-4 ) 的餘式為 R (x) ，試求 。

6. 設實係數多項式函數f ( x)ax²+(2-a)= + −2 ，其中 − 1≤a ≤2 。在坐標平面上，令Γ 為 y =f (x ) 與 x 軸在 − 1≤ x≤1 所圍的區域。又令 V 為 Γ 繞 x 軸旋轉所得旋轉體的體積。試求體積 V 的最大值。

7. < a_n >滿足  ，則a₃₀₀ =_________。

8. 下圖為一邊長 8 的正立方體包裝盒展開圖，在盒底正中央擺上底面正方形邊長為 6，側面腰長為 3 √6 的四角錐，試 問包裝後正四角錐頂點 A 與正立方體頂點 B 的距離=_______________。

9. 台南沙崙智慧綠能科學城正在舉辦「智慧自駕車迷宮挑戰賽」，目的是推廣人工智慧與智慧交通的科教應用。小安設 計的自駕小車 Tesala（特沙拉） 參賽，並安裝了左、右兩個距離感測器，決策邏輯如下：

(1)當只有正前方有障礙物時，Tesala 會隨機選擇向左轉（L）或向右轉（R），且機率各為 50%。

(2)統計資料顯示，在沙崙智慧綠能科學城的模擬迷宮中，Tesala 遇到障礙物的情況（事件 O）佔總行駛時間的 30%。 

(3)在遇到障礙物的情況下，約有 25% 的機率是左側同時也有障礙物（事件 A）的棘手狀況。

(4)另外，在未遇到障礙物的情況下，仍有約 0.4% 的機率因感測器誤判或環境干擾而顯示「左側有障礙物」。

 問題： 若某次比賽中，Tesala 突然進行了左轉避障。請填寫在「左側有障礙物」的條件下，Tesala「遇到障礙 物」的機率為 _____________(四捨五入到小數第 3 位)。

10. 二數列⟨a_n ⟩、⟨b_n ⟩具有a₁ = 1、b₁ = 1，且∀n ∈ N，  ，求a_n + b_n =_________。

11. 複數平面上A(α)、B(β)、C(γ)，已知 ，求|α − β|=________。

12. 空間座標中的圖形表示二平行平面，則此二平行平面之距離=__________。

二、計算證明題
1. 設隨機變數 X 的機率分布為幾何分布 G (p ) ，試證隨機變數 X 的期望值E (X)  =

2. 空間中有一平面E: 2x + 3y − 6z − 24 = 0分別交三軸於 A、B、C 三點，問原點 O 與三點所構成之四面體之外接球與 內切球半徑的和=____________。

三、教材教法與課程設計

前言：從影像到卷積

      影像在電腦眼中是一個巨大的像素矩陣。為了從這些數字中找出特徵（例如：邊緣、形狀），電腦會使用一種名為「卷 積」(Convolution) 的數學工具。卷積神經網路 (Convolutional Neural Network, CNN) 是深度學習中極為重要的分支， 電腦視覺領域（如人臉識別、自動駕駛）近年來的重大進展皆歸功於此。而這種神經網路的核心特點即為「卷積」運算。 卷積是什麼？ 卷積是一種數學運算，其功能是對資料（如：訊號、影像）進行特徵萃取。在 CNN 中，底層萃取出的初階 特徵會再送到下一個卷積層進行進階特徵萃取，這種層次化的處理方式大幅增強了神經網路的學習效率。在圖像分類上， CNN 的表現遠優於一般傳統的深度神經網路，因此成為 AI 研究的核心。對於中學階段，我們可將「卷積」簡化為局部矩陣運算的應用。在數學本質上，卷積是「加權平均」（Weighted Average）的具體表現。對於國高中生而言，這是一個認 識「權重分配」與「局部特徵提取」邏輯思維的絕佳機會。

探究活動：

1. 引導學生理解圖片其實就是一堆數字。 ➢ 任務：給予一張 5 × 5 的二值化（黑白）矩陣，數字 1 代表黑，0 代表白。

 (1) 原始資料：拍指一個包含垂直線條紋的5 × 5 的二值化（黑白）矩陣。例如:

(2) 卷積核

(3) 運算規則 ：將 K 覆蓋在 A 的局部區塊上，對應數字相乘後加總，並將結果填入新的矩陣。將得到的數值填入【特徵圖 B】

(1) 請問您認為【特徵圖 B】應該是如何呈現，理由為何？

(2) 【特徵圖 B】運算後的結果，哪些地方數值最高？

(3) 如果學生想偵測「斜線」，身為老師的您又該如何引導他修正題目？

(4) 或卷積核裡的數字該如何調整？