105年 - 105 大學入學考試中心_指定科目考試：數學甲#53384

科目：高中指考◆數學甲 | 年份：105年 | 選擇題數：7 | 申論題數：9

試卷資訊

所屬科目：高中指考◆數學甲

選擇題 (7)

1. 請問下列選項中哪一個數值 a 會使得 x 的方程式

有兩相異實數解？ (A) a =1 (B) a = 2 (C) a = 3 (D) a = 4 (E)a = 5

2. 下列哪一個選項的數值最接近 cos(2.6 ) π ？ (A) sin(2.6π ) (B) tan(2.6π ) (C) cot(2.6 π ) (D) sec(2.6π ) (E)csc(2.6π )

3. 假設三角形 ABC 的三邊長分別為

。請選出和向量

的內積為最大的選項。 (A)

4. 假設 a b, 皆為非零實數，且坐標平面上二次函數 y =ax²+ bx 與一次函數 y= ax+ b 的圖形相切。請選出切點所在位置為下列哪一個選項。 (A) 在 x 軸上 (B) 在 y 軸上 (C) 在第一象限 (D) 在第四象限 (E)當 a > 0 時，在第一象限；當 a > 0 時，在第四象限

複選題
5. 在坐標空間中，點 P(2,2,1)是平面 E 上距離原點 O(0,0,0) 最近的點。請選出正確的選項。 (A) 向量

= - (1, 1,0) 為平面 E 的法向量 (B) 點 P 也是平面 E 上距離點 (4,4,2) 最近的點 (C) 點 (0,0,9) 在平面 E 上 (D) 點 (2,2, 8) - 到平面 E 的距離為 9 (E)通過原點和點 (2,2, 8) - 的直線與平面 E 會相交

複選題
複選題
6. 坐標平面上一矩形，其頂點分別為 A(3,-2) 、 B(3,2)、 C(-3,2)、 D(-3,-2)。設二階方陣 M 為在坐標平面上定義的線性變換，可將 A映射到 B 且將 B 映射到 C 。請選出正確的選項。 (A) M 定義的線性變換是鏡射變換 (B)

(C) M 定義的線性變換將 C 映射到 D 且將 D 映射到 A (D) M 的行列式值為 -1 (E) M³ = -M

複選題
7. 在實數線上，動點 A從原點開始往正向移動，動點B從8的位置開始往負向移動。兩個動點每一秒移動一次，已知第一秒 A、 B 移動的距離分別為 1、 4 ，且 A、 B 每次移動的距離分別為其前一次移動距離的

倍。令 c_n 為第 n 秒時 A、 B 的中點位置。請選出正確選項。 (A)

(B)c₂>c₁ (C) 數列

是一個等比數列 (D)

(E)c ₁₀₀₀> 2

申論題 (9)

【已刪除】A. 投擲一枚均勻銅板 8次。在最初兩次的投擲中曾經出現過正面的條件下，8次投擲中恰好出現 3次正面的條件機率為

。（化成最簡分數）

【已刪除】

為空間中三個向量，且向量

平行。若行列式

【已刪除】C. 在所有滿足

的複數 z 中（其中

為 z 的共軛複數，

的最小值為

。（化成最簡分數）

D. 一圓盤分成標有數字 0、1的兩區域，且圓盤上有一可轉動的指針。已知每次轉動指針後，前後兩次指針停在同一區域的機率為1/3 ，而停在不同區域的機率為 3/4 。遊戲規則為連續轉動指針三次，計算指針在這三次所停區域的標號數字之和。若遊戲前指針的位置停在標號數字為 1 的區域，則此遊戲的期望值為

。（化成最簡分數）

(1) 假設，試利用 x 分別表示，並求出 x 之值。（ 4分）

(2) 若將，則 α, β 之值為何？（ 5分）

(1) 試描繪 y= f(x)在0≤x≤3的範圍中可能的圖形，在圖上標示 (0, f (0))、(2, f (2))，並由此說明 a 為正或負。（ 4分）

(2) 試求方程式 f(x)-12=0的實數解（如有重根須標示），並利用 y=G( x) 在 x=1 處有極值，求 a 之值。（ 5分）

(3) 在0≤x≤2的範圍中，求 G( x) 之最小值。（ 6分）