115年 - 115-1 臺北市立大同高級中學_教師甄選初選試題：高中數學科#138591

1.給定一個整係數三次多項式函數 f(x)=x³+ax²+bx+bx+c，已知 f (0) 0 = ， f (2)  =2 , 420≤ 460 ≤ (6)f ，則 f (1) = 【 】

2. 坐標平面上橢圓Γ ，長軸在 x 軸，短軸在 y 軸，對原點逆時針旋轉θ 角後得新橢圓  Γ ' : 29xy+36y²=180， 為新橢圓長軸頂點之一，若橢圓Γ 上點 P 經此旋轉後的新點 P′落在正向 y 軸上，點 P 坐標為【 】

3. 有一枚不均勻硬幣，正面機率為，反面機率為 ，若擲 100 次這枚不均勻硬幣，正面次數為偶數的機率為 ，數對 (a,b) 為【 】

4. 在複數平面上，複數 z 在第一象限， |z| = 5且 ，則複數 z = 【 】

5. p 為正整數， =  【 】

6. 圓周上 10 等分點，任意選取 4 個等分點圍成四邊形，每一點被選取機會均等，則所圍四邊形至少有一個角是直角的機率 為【 】

7. [ ] x 表示不大於 x 的最大整數，則 = 【 】

8. 平面上一點 P 到正ΔABC 各頂點距離分別是 3、5、7，此正ΔABC 面積為【 】

二、計算題

1. 高中數學題目:

(1)袋中有紅球 3 顆、白球 2 顆，每球被抽到的機會均等。從袋中抽出 2 顆球，令隨機變數 X 為抽出紅球顆數，求隨機變數 X 的期望值。

(2)袋中有紅球 3 顆、白球 2 顆，每球被抽到的機會均等。每次從袋中抽出 1 顆球，取後不放回，抽 2 次，令隨機變數 X 為 抽出紅球顆數，求隨機變數 X 的期望值。

學生作法:

(1)每球被抽到的機會均等，期望值等於平均數，抽 1 顆球紅球的期望值為，∴X 的期望值為

(2)每次抽出紅球機率均為 ，X 為n = 2， p = 的二項分布，∴X 的期望值為 np =

學生作法是否正確?如果正確，回答正確即可，如果有誤，寫出學生的錯處及正解。

2. 將地球儀設定成一個坐標空間，球心為原點O，地球儀上 A， B 兩個城市的坐標 A(5,0,0)， B(3, 4,0)，求地球儀上點 C 使 得三城市 A、 B 、C 任兩點在球面上的最短距離皆相等。

3. 設[ ] x 表示不大於 x 的最大整數，滿足  [x3]4x+3 的實數 x 為【 】

4. 長方形 ABCD 中， =1、 = √2 ，沿著對角線 摺起後，B 移動到 B’，如下圖 。若且 平面 AB C′ 與平面 ADC 夾 60° 角，則的長度為何？

5. 已知圓 O 為圓形鏡面，光線從圓周上一點 A 射向圓內一點 P，經過 B、C 兩次反射後正 好再次通過 P 點 (如圖所示)，若OP 長為圓 O 半徑長的一半，則sin ∠AOP 的值為何？