115年 - 115 高雄中學_正式教師甄選試題：數學科#138213

科目：教甄◆數學 | 年份：115年 | 選擇題數：0 | 申論題數：15

試卷資訊

所屬科目：教甄◆數學

選擇題 (0)

申論題 (15)

1.方程組
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
 + + = 
 + + =

 + + =
，
令
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
 = ，
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x
d b c
d b c
d b c
 = ，
1 1 1
2 2 2
3 3 3
y
a d c
a d c
a d c
 = ，
1 1 1
2 2 2
3 3 3
z
a b d
a b d
a b d
 = 。
試證：若方程組之幾何意義為「三平面兩兩相交於一直線，且三直線互相平行」，
則
= 0
且
   、 、
x y z
至少有一不為
0。 (6 分)
2. 針對本題：
「
f x( )
是一個多項式函數，
deg 1 f x( ) = ，1 1 4   f ( ) ，−   2 2 7 f ( )
，求
f (3)
之範圍」。
請用兩種不同解法，求出本題的正確答案。(8 分)
3. 已知
( ) ( )
115 5 4 2 115
0 1 2 115 f x x x x a a x a x a x = + − − = + + + + 3 2 4 2 ...
若
57
2
0
k
k
p a
=
=  ， ( )
57
2
0
1
k
k
k
q a
=
= −  ，
28
4 1
0
k
k
r a +
=
= ，
28
4 3
0
k
k
s a +
=
= 
，試求數對
( p q r s , , , )。(8 分)
4.
( )
1 2
0
1 , 1,2,3,... n
n
a x x dx n = − = 
，試求(1)
1
n
k
k
a
=
 (2)
3
lim
n
n
n a
→
 。 (6 分)
5. 已知三角形
ABC
的三邊長分別為
abc , ,
，且其外接圓半徑
a bc R
b c
=
+
，
求此三角形三內角的餘弦值之和=? (6 分)
6. 直角
ABC
中，
 = BAC 90o
，今
AB
上一點
D
滿足
 =  ABC ACD 2
且
BC BD = 2
，若
AD =1，
求
BCD
面積=? (6 分)
7. 設
f x( )
和
g x( )
均為二次實係數多項式且
f x( )
的領導係數為 1，g x( )
的領導係數為 4，
若
2
( ( )) f x
除以
g x( )
的餘式為
11 15
4
x − ；
2
( ( )) g x
除以
f x( )
的餘式為
28 40 x − ，求
f x( ) ? =
(6 分)
8. 有八個學生在雄中司令臺圍坐一圈，今每人同時丟擲一個公正的硬幣一次(即出現正面
和反面的機率皆為
1
2
)，試求沒有任相鄰二人皆擲出反面的機率=? (6 分)
9. 空間中，
S
為以
P(1,0,0)
為球心，半徑為
1
的球面，若
Q a b c ( , , )
為球面
S
上的動點，滿足
a b c    1, 0, 0
，若過
Q
且與球面
S
相切的平面
E
，分別與
x
軸、
y
軸、
z
軸交於點
A B C , ,
，試求
ABC
的最小面積=? (6 分)
10. 設
a  0， 3 2 2 f x x ax a x ( )= + −
的圖形為

，若
f x( )
在
x b =
有極小值，求過點
( , ( )) b f b
且
與

相切的切線與

所圍成的區域面積=? (以
a
表示) (6 分)
11. 求出所有的正整數 n，使得 26 + √2026 − n 是一個完全平方數。 (6 分)
12. 空間坐標中，點 (x, y, z)，滿足 x, y, z 皆為整數的點，稱為格子點。已知四面體 OABC
的四個頂點為 ?(0,0,0)，A(10,20,30)，B(20,20,30)，C(30,10,10)，則在四面體 OABC
的內部或邊界上，有多少個格子點？ (6 分)
13. 空間坐標中，A,B 兩點在某直線 L 的投影分別為 C,?。已知 AC = 2，B? = 6，
且兩直線方程式分別為 AC:
x−7
2
=
y+1
−1
=
z−5
2
與 B?:
x=1
1
=
y+7
4
=
z−1
1
，
試求 AB 的長度=? (8 分)
14. 坐標平面上，已知 ? 為原點，矩形 ?ABC 的三個頂點 A, B, C 均在
橢圓 x
2
16
+
y
2
3
= 1，試求矩形 ?ABC 的面積=? (8 分)
15. 設 a, b, c, d 為正實數且滿足 abcd = 1。
試證明：√a
2 + b
2 + √c
2 + d
2 ≥ √a + b + √c + d (8 分)