3. A ball of mass m moves in a vertical circle at the end of a string. By how much is the tension at the bottom greater than that at the top?
(A)0；
(B) 2 mg；
(C) 4 mg；
(D) 6mg；
(E) None.

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統計： A(1), B(4), C(1), D(1), E(0) #2735466

李俐彥（Liam）

B1 · 2025/07/03

#6518443

題目：

一個質量為 m 的小球，被繩子拉著進行垂直面的圓周運動。請問在最低點的繩子張力比最高點的張力大了多少？

(A) 0; (B) 2 mg; (C) 4 mg; (D) 6mg; (E) None.

正確答案： (D) 6mg

詳細解析：

這個問題需要結合牛頓第二定律（用於圓周運動）和力學能守恆定律來解決。

假設繩長為 r，小球在最高點的速率為 v_top，在最低點的速率為 v_bottom。

步驟一：分析最高點的受力

在最高點，重力(mg)和繩子張力(T_top)都指向圓心（向下），它們的合力提供向心力。

方程式為： T_top + mg = m * (v_top)² / r

步驟二：分析最低點的受力

在最低點，繩子張力(T_bottom)指向上方（圓心），重力(mg)指向下方。它們的合力提供向心力。

方程式為： T_bottom - mg = m * (v_bottom)² / r

步驟三：應用力學能守恆

從最低點到最高點，高度差為 2r。過程中力學能守恆。

以最低點為位能零點，可列式：

(1/2) * m * (v_bottom)^2 = (1/2) * m * (v_top)^2 + mg * (2r)

整理後可得：

m * (v_bottom)^2 - m * (v_top)^2 = 4mgr

步驟四：聯立求解張力差

我們的目標是計算 T_bottom - T_top。

將步驟二的方程式減去步驟一的方程式：

(T_bottom - mg) - (T_top + mg) = (m * (v_bottom)^2 / r) - (m * (v_top)^2 / r)

T_bottom - T_top - 2mg = (m * (v_bottom)^2 - m * (v_top)^2) / r

現在，將步驟三得到的結果 (m * (v_bottom)^2 - m * (v_top)^2 = 4mgr) 代入上式：

T_bottom - T_top - 2mg = (4mgr) / r

T_bottom - T_top - 2mg = 4mg

最後，移項得到結果：

T_bottom - T_top = 4mg + 2mg = 6mg

結論：

最低點的張力比最高點的張力大了 6mg。

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