4. If the energy needed to send an object (initially at rest on the earth's surface) to a maximum height H is a half of that for sending it into an orbit at the same height, what would be the value of H in terms of RE (the radius of the earth)? Ignore the earth's rotation.
(A) 1/4；
(B) 1/3；
(C) 1/2；
(D) 2/3；
(E) None.

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統計： A(1), B(0), C(4), D(0), E(1) #2735467

李俐彥（Liam）

B1 · 2025/07/04

#6520133

題目：

若將一個初始靜止於地球表面的物體，送到最大高度 H 所需的能量，是將其送到同樣高度 H 的軌道上所需能量的一半，則 H 的值為地球半徑 RE 的多少倍？（忽略地球自轉）

(A) 1/4; (B) 1/3; (C) 1/2; (D) 2/3; (E) None.

正確答案： (C) 1/2

詳細解析：

本題的關鍵在於正確計算兩種情況下，物體總力學能的變化量（即所需的能量）。我們必須使用萬有引力位能公式 U = -GMm/r，其中 r 為物體到地心的距離。

1. 初始狀態的能量

物體初始靜止於地球表面，此時距離地心 r = RE，動能為 0。

初始能量 E_initial = K + U = 0 - GMm/RE = -GMm/RE

2. 情況 A：送到最大高度 H

當物體到達最大高度 H 時，其速度為 0，動能為 0。此時距離地心 r = RE + H。

最終能量 E_final, A = K + U = 0 - GMm/(RE + H)

送到此高度所需的能量為兩者能量差：

ΔE_A = E_final, A - E_initial = (-GMm/(RE + H)) - (-GMm/RE) = GMm * (1/RE - 1/(RE + H))

3. 情況 B：送到高度 H 的軌道上

當物體在高度 H 的圓形軌道上運行時，它同時具有動能和位能。在軌道上，萬有引力提供向心力：

GMm/((RE+H)^2) = mv^2/(RE+H) 可推得 mv^2 = GMm/(RE+H)

因此，軌道上的動能為：

K_orbit = (1/2) * mv^2 = GMm / (2*(RE+H))

此時的總能量為動能加位能：

E_final, B = K_orbit + U = GMm/(2*(RE+H)) - GMm/(RE+H) = -GMm/(2*(RE+H))

送到此軌道所需的能量為兩者能量差：

ΔE_B = E_final, B - E_initial = (-GMm/(2*(RE+H))) - (-GMm/RE) = GMm * (1/RE - 1/(2*(RE+H)))

4. 根據題目條件求解

題目給定 ΔE_A = (1/2) * ΔE_B。代入我們求得的表達式：

GMm * (1/RE - 1/(RE + H)) = (1/2) * [ GMm * (1/RE - 1/(2*(RE+H))) ]

消去兩邊的公因數 GMm：

1/RE - 1/(RE + H) = 1/(2RE) - 1/(4(RE+H))

將含有 RE 的項和含有 (RE+H) 的項分別移到等號兩邊：

1/RE - 1/(2RE) = 1/(RE + H) - 1/(4(RE+H))

1/(2RE) = 3/(4(RE+H))

交叉相乘：

4*(RE+H) = 3*(2RE)

4RE + 4H = 6RE

4H = 2RE

H = (2/4)*RE = (1/2)*RE

結論：

H 的值為地球半徑 RE 的 1/2。

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