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奧林匹亞數學
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102年 - 2013 年亞太數學奧林匹亞競賽-初選考試#82138
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題組內容
五、 數列 (b
0
, b
1
, . . .) 滿足下列遞迴關係:
, 對所有 n ≥ 1.
(a) (3分) 若 b
k
= 4096, 則 k = ____________ .
其他申論題
一、 (7分) 已知 O 是 正 4ABC 內一點, 滿足 ∠AOB : ∠BOC : ∠COA = 6 : 5 : 4. 現在以邊長 a = , b =, c = 做成一個新的三角形, 而此三角形邊 a, b 與 c 的對頂角分別為 α, β 與 γ. 則 α : β : γ = 1 : 2 : 3 . (化成最簡整數比。)
#333735
二、 (7分) 令函數 f 為正實數映射到實數, 且滿足下列條件: (i) f 是嚴格遞增函數; (ii) 對任意的正實數 x, 滿足不等式 (iii) 對所有的正實數 x, 滿足等式 = 1. 依照以上條件 f(2) = . (化成最簡分數。)
#333736
三、 (7分) 整數的數列 (a1, a2, . . .) 滿足下列關係式: , 對所有 n ≥ 3. 如果已知 a560 = 560 且 a1600 = 1600, 則 a2013 是 8 位數字; 而且 a2013 的個位數 字是 9 , 十位數字是 10 . (註: lcm(a, b) 與 gcd(a, b) 分別是 a, b 兩數字的最小公倍數與最大公因數。)
#333737
四、 (7分) 整數對 (x, y) 滿足等式 x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y. 請解出所可能的整數對 (x, y); 一共會有 n 對。 再考慮每一對的絕對值和 |x| + |y|, 令 m 為這數的極大值。 則 m + n = ____________ .
#333738
(b) (4分) 試問 b543 =_____________ . (註: [x] 表示不超過 x 的最大整數。)
#333740
沒有 【段考】高二歷史下學期 權限，請先開通．
#333741
沒有 【段考】高二歷史下學期 權限，請先開通．
#333742
1、 人本主義心理學的理念和特色為何？如何將之落實在教育當中？
#333743
2、 21世紀是知識經濟的時代，知識經濟的理念為何？高中教育如何因應？
#333744
3、教學媒體在教學上有何功用？教師在使用時應遵循什麼原則？
#333745
, 對所有 n ≥ 1.
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