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題組內容

(30%) Let X and Y be two random variables with the following joint probability density function (pdf):

(b) (10%) Find the expected value of Y.

相關申論題

(一)求X的邊際機率質量函數(marginal probability massfunction)Px(x)。(5分)

(二)求條件機率(conditional probability)(0|0)= P(X=0|Y=0)(5分)

Problem 7. (2.5 %) Consider two random variables X and Y, each taking val- ues in {1,2,3}. Let their joint PMF be such that for any 1 ≤ x, y ≤ 3,Then, (i) X and Y can be independent or dependent depending upon the strictly positive values(ii) X and Y are always independent(iii) X and Y can never be independent

Problem 6. (2.5 %) Suppose X, Y and Z are three independent discrete ran- dom variables. Then X and Y + Z are (i) always (ii) sometimes (iii) never independent.

Problem 14. (2.5 %) Let X and Y be two continuous random variables. Then, (i) E[XY] = E[X]E[Y] (ii) E(X2 + Y2] = E[X2] + E[Y2] (iii)fx+x(x+y)=f.x(x).fr(y) (iv) var(X+Y)=war(X)+var(Y)

Problem 15. (2.5 %) Suppose X is uniformly distributed over [0,4] and Y is uniformly distributed over [0,1]. Assume X and Y are independent. Let Z = X + Y. Then (i) fz(4.5)=0 (ii) fz(4.5)=1/8 (iii) fz(4.5) =1/4 (iv) fz(4.5)=1/2

(10%) First a point Y is selected at random from the interval (0, 1). Then another point X is selected at random from the interval (Y, 1). Find the probability density function of X.

(a) (3%) Find the marginal probability distribution function of Y, i.e. fy (y).

(b) (3%) Find the mean of Y.

(c) (4%) Find the variance of Y.

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