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首頁 > 研究所、轉學考(插大)◆線性代數 > 110年 - 110 國立臺灣大學_碩士班招生考試_應用數學科學研究所應用數學組:線性代數(A)#100602 > 申論題

2. (15 points.) Let A be an n x n matrix over C of the form
DefineProve that

相關申論題

(a) Prove that rank(A+B)≤ rank(A)+ rank(B).

(b) Prove that rank(A) + rank(B) ≤ rank(AB) + n.

3. (15 points.) Let T : V→V be a linear operator on a finite-dimensional vector space be a polynomial. Prove that the linear transformation f (T) is invertible if and only if f(z) and the minimal polynomial T have no common roots.

4. (15 points.) Letbe eigenvectors corresponding to I: distinct cigenvalues of a lincar operator T on a vector space V. Prove that the T-cyclic subspace generated by has dimension k.

5. (15 points.) Let T : V →V be a lincar operator on a finite-dimensional inner product space V over R and T* be its adjoint. Suppose that T* = T3. Prove that T2 is diagonalizable over R.

6. (20 points.) Let V be a v vector space of dimension n over a field F. Determine the dimension over F of the vector space of multilinear alternating functions f : V x... xV →F(k copies of V).

Problem 6 :Let A and B be elements in (C). Suppose that AB - BA = c⋅(A - B) for some non-zero c ∈ C. Prove that there exists an invertible matrix P ∈ (C) such that AP and BP are upper-triangular matrices with the same diagonal entries.

Problem 5 :Let A, B ∈ (R). Prove that rank A + rank B ≤ n if and only if there exists an invertible matrix X ∈ (R) such that AXB = .

(2) Show that T is diagonalizable.

(1) Find the dimension of Ker T.

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