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首頁 > 研究所、轉學考(插大)◆線性代數 > 107年 - 107 東吳大學_碩士班招生考試_數學系(A組)：線性代數#101986 > 申論題

4. For , find the reduced row echelon form of A and verify the dimension theorem for matrices .

相關申論題

1. Use the following linear system to verify that the general solution of a consistent linear system Ax=b can be obtained by adding any specific solution of Ax=b to the general solution of Ax=0. x + 2 y − 3z = 3 3 x + 6 y − 9z = 9 −2 x − 4 y +6 z = −6

2. (a) Find the standard matrix for the transformation T(x1, x2, x3)=(x1-2x2, x2+3x3, 2x1- x3)in R3.

(b) Find the standard matrix for the reflection about the line y=x in R2.

(c) Suppose T is a linear transformation from R2 to R2, and transforms (1,2) to (-3,4) and (2,0) to (1,5). Find T(v), T2(v) for v=(3, -2).

3.(a) Let E be an n × n elementary matrix, what is the determinant det(E) of E ?

(b) Determine whether the set W of all 2 × 2 symmetric matrices is a vector subspace of . Is it a finite-dimensional vector subspace?

5. Let R3 have the Euclidean inner product, and let v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 0, −1), v3 = (1,1, 0) . Use the Gram-Schmidt process to find the QR-decomposition of A = [ v1 v2 v3 ] .

Problem 6 :Let A and B be elements in (C). Suppose that AB - BA = c⋅(A - B) for some non-zero c ∈ C. Prove that there exists an invertible matrix P ∈ (C) such that AP and BP are upper-triangular matrices with the same diagonal entries.

Problem 5 :Let A, B ∈ (R). Prove that rank A + rank B ≤ n if and only if there exists an invertible matrix X ∈ (R) such that AXB = .

(2) Show that T is diagonalizable.

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