所屬科目：教甄◆數學
1. 將與 \(105\) 互質所有正整數由小到大排成一數列 \(a_1, a_2, a_3, \dots\)，則 \(a_{2026} =\) ______。
2. 設 \(x, y, z\) 是有理數，且 \(a = \log \frac{8}{25}\)，\(b = \log 12\)，\(\log 15 = xa + yb + z\)，求數組 \((x, y, z) =\) ______。
3. 袋中有 \(3\) 個白球，\(4\) 個紅球，\(5\) 個黑球。今自袋中取球，每次取一球，取後不放回，若每一球被取到的機會均等，則白球最先被取完，且紅球比黑球先被取完的機率為______。
4. 多項式 \(f(x)\) 的次數為 \(10\)，且滿足 \(f(k) = k + \frac{1}{k}\)，\(k = 1, 2, 3, \dots, 11\)。試求 \(f(13)\) 之值為______。
5. 如圖，平面四邊形 \(ABCD\) 中，若已知 \(\angle ACB = 90^\circ\)，\(\angle ABD = \alpha\)，\(\angle ACD = \beta\)，且 \(\overline{AB} = \overline{BD}\)，\(\sin \alpha = \frac{3}{5}\)，\(\cos \beta = \frac{5}{13}\)，則 \(\tan \angle ABC =\) ______。
6. 設 \(z\) 為複數且 \(|z| = 1\)，則 \(\left| z^3 - 3z - 2 \right|\) 的最大值為______。
7. 平面坐標上有一以原點為圓心的單位圓 \(C\)，點 \(P\) 為圓 \(C\) 上動點，及一定點 \(A(2, 0)\)。以 \(P\) 點為中心，將 \(A\) 點逆時針旋轉 \(90^\circ\) 得點 \(B\)，則點 \(B\) 的軌跡方程式為______。
8. 若 \(x > 0\)，則 \(x^3 + 3x + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^3}\) 的最小值為______。
9. 已知一組二維數據 \((X, Y)\)，其相關係數為 \(\frac{1}{2}\)，且 \(X, Y\) 的標準差分別為 \(1, 2\)。若 \(Z = X + Y\)，則 \((X, Z)\) 的相關係數為______。
10. 設多項式函數 \(y = f(x)\) 滿足 \(f(x) = -8x^3 + 33x^2 - 18x + \int_0^x f(t) dt\)，求 \(f(x) =\) ______。
11. 有一個均勻的正四面骰子，其四面點數分別為 \(1, 2, 3, 4\)。重覆擲此正四面骰子，並觀察底面出現的點數，直到出現點數連續四次依序為 \(1, 2, 3, 4\) 時停止，試問總投擲次數的期望值為______。
12. 在矩形 \(ABCD\) 中，\(\overline{AB} = 3\)，\(\overline{AD} = 4\)，\(E\) 為 \(\overline{AB}\) 上一點，且 \(\overline{AE} = 1\)，現將 \(\triangle BCE\) 沿 \(\overline{CE}\) 折起，使得 \(B\) 點在平面 \(AECD\) 的投影恰好落在 \(\overline{AD}\) 上，則四角錐 \(B - AECD\) 的體積為______。
1. 已知實數 \(x, y, z\) 滿足 \(\begin{cases} x + 5 = y + z \\ z^2 + xy = 3z - 5 \end{cases}\)，試求 \(x^2 + y^2 + xy\) 的最大值及最小值。
2-(1). 試證：直線 \(L\) 恆過一定點。
2-(2). 設點 \(F\) 關於直線 \(OB\) 的對稱點為 \(C\)，求四邊形 \(OABC\) 面積的最小值。
3. 設 \(ABCD\) 為圓內接四邊形，點 \(P\) 為其兩對角線的交點。\(P\) 在 \(AB, CD\) 上投影點分別為 \(E, F\)，\(\triangle ABP, \triangle CDP\) 的外心分別為 \(G, H\)，證明 \(E, F, G, H\) 四點共圓。
4. 已知實數函數 \(f(x)\) 滿足 \(f(0) = 1013\)，且 \(f(x+5) - f(x) \le 3(x+3)\) 以及 \(f(x+15) - f(x) \ge 9(x+8)\)，對任意實數 \(x\) 皆成立，求 \(\frac{f(2025)}{2026} = ?\)
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