115年 - 115 臺北市立南港高級中學_正式教師甄選＿高中數學科#139341

1. 已知曲線 \(\Gamma: y = \frac{x^3}{3} - ax\)，其中 \(a > 0\)，過原點作曲線 \(\Gamma\) 的切線 \(L\)，過原點與切線 \(L\) 垂直的直線為 \(M\)。求直線 \(M\) 與曲線 \(\Gamma\) 所圍的區域面積最小值。

2. 在空間中，將點 \(p(x_0, y_0, z_0)\) 投影至平面 \(x + y + z = 0\) 的正投影矩陣為 M，試求矩陣 M。

3. ABCD 為圓內接四邊形, \(\overline{AB} = 1, \overline{BC} = 7, \overline{CD} = 5, \overline{DA} = 5, \overrightarrow{AC} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AD}\),求數對 \((\alpha, \beta)\)。

4. 設資料 \(X = (-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4)\)，而 \(i = 1, 2, 3, 4\) 時，資料 \(Y_i = ((-4)^i, (-3)^i, (-2)^i, (-1)^i, 0^i, 1^i, 2^i, 3^i, 4^i)\)。令 \(r_i\) 代表資料 \(X\) 和資料 \(Y_i\) 的相關係數，\(i = 1, 2, 3, 4\)。請寫出 \(r_1, r_2, r_3\) 與 \(r_4\) 的大小關係（例如 \(r_1 < r_2 = r_3 < r_4\) 或 \(r_4 < r_3 < r_2 < r_1\)）。

5. 已知 \(|\log_3 x| = ax + b\) 之三個相異實根，由小而大依次成為公比 \(r = 3\) 之等比數列，則其解為何？(三解，以 \(k^m\) 的形式表示)

6. \(\Delta ABC\) 中, \(\angle A = \frac{\pi}{8}, \angle C = \frac{\pi}{4}, \overline{AB} = 8\),求 \(\Delta ABC\) 面積為何？

7. 右圖是由 \(\overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{AE}\) 所形成的平行六面體，若 \(\overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{AE}\) 兩兩的夾角都是 \(60^\circ\)，且 \(\overline{AB} = \overline{AD} = \overline{AE} = 3\)，點 \(P\) 在 \(\overline{HG}\) 上且 \(\overline{PG} = 2\overline{PH}\)，則 \(\overline{AP}\) 的長度為何？

8. 求 \(\cot \frac{\pi}{24}\) 的值為何？(化為最簡根式)

9. 假設位於第一象限的點 \(P\) 在 \(\Gamma: x^2 = 4y\) 的圖形上，點 \(Q\) 在正 \(x\) 軸上且滿足 \(\overline{OP} = \overline{OQ}\)，直線 \(PQ\) 交 \(y\) 軸於 \(R\)。當 \(P\) 沿曲線 \(\Gamma\) 趨近於原點時，點 \(R\) 的極限座標為何？

10. 設函數 \(f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}\)，滿足 \(f\left(1 - \frac{1}{1+t}\right) + f\left(\frac{1+t}{t}\right)\log|1+t| = f\left(\frac{1+t}{t}\right)\log|t| + 2026\)，求 \(f(1000)\) 的值為何？

11. 坐標平面上，\(x\) 與 \(y\) 坐標均為整數的點為格子點。問在函數圖形 \(y = \log_2 x\)、\(x\) 軸與直線 \(x=20\) 所圍有界區域的內部（不含邊界）共有多少個格子點？

12. 已知丟某枚銅板，其正面的機率為 \(p\)，反面的機率為 \((1-p)\)，將此枚銅板丟擲 \(n\) 次，在丟擲過程中，正面第一次出現時，可得獎金 1 元，正面第二次出現時，可再得獎金 2 元，正面第三次出現時，可再得獎金 3 元，以此類推。共得到獎金 \(\frac{1}{2}(n^2 - n)\) 元的機率為何？

13. 如圖，\(\overline{AB}\) 為圓 \(O\) 之直徑且直線 \(L\) 包含 \(C\)、\(D\)、\(E\) 三點。已知直線 \(L\) 垂直 \(\overline{AB}\) 的延長線於 \(C\) 點。又 \(P\)、\(Q\) 為圓 \(O\) 上兩點，\(\overline{PD}\)、\(\overline{QE}\) 各垂直直線 \(L\) 於 \(D\) 點、\(E\) 點，且 \(\overline{BP} = \overline{PD}\)、\(\overline{BQ} = \overline{QE}\)。試證：\(\overline{BP} + \overline{BQ} = \overline{AB}\)。

14-1. ① 試問變換 \(M\) 的矩陣為何？

14-2. ② 試證明變換 \(M\) 將 \(\triangle ABC\) 的重心映射至 \(\triangle A'B'C'\) 的重心。

14-3. ③ 若 \(\triangle ABC\) 的面積為 3，試求點 \(C'\) 與直線 \(A'B'\) 的距離。