所屬科目：教甄◆數學
1. △ABC 中，∠CAB=60°，\( \overline{BC} = 2\sqrt{19} \)、\( \overline{AC} = 4 \)，若 \( A_1、A_2、A_3、\ldots、A_{n-1} \) 共(n–1)個點在 \( \overline{AB} \) 上且將 \( \overline{AB} \) 均分成 n 等份（n 為大於 10 的正整數），令 \( \angle ACA_1 = \theta_1 \)、\( \angle A_1CA_2 = \theta_2 \)、\( \angle A_2CA_3 = \theta_3 \)、...、\( \angle A_{k-1}CA_k = \theta_k \)、...、\( \angle A_{n-2}CA_{n-1} = \theta_{n-1} \)，下列何者正確?
(A)\( \overline{AB} = 10 \) (B)△ABC 面積為 \( 10\sqrt{3} \) (C)\( \overline{A_1C}、\overline{A_2C}、\overline{A_2C}、\ldots、\overline{A_{n-1}C} \) 長度形成一個遞減數列 (D)\( \theta_1、\theta_2、\theta_3、\ldots、\theta_{n-1} \) 形成一個遞增數列 (E)當 n=100，若 \( \theta \) 為數列 \( \theta_1、\theta_2、\theta_3、\ldots、\theta_{99} \) 的最大值，則 \( \tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{60} \)
1. 袋中有紅球與白球共 16 顆（其中紅球與白球分別都至少有 2 顆），從袋中抽出 2 球，且 2 球均為紅球的機率大於 \( \dfrac{1}{4} \)。試問從袋中抽出 3 球，且 3 球中有紅球也有白球的機率之最大值為__________。
2. 設矩陣 \( A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{1}{2} \\ 1 & \frac{5}{2} \end{bmatrix}^5 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)，則矩陣 A 中所有元(素)的總和為__________。
3. 坐標平面上，直線 L 過點 (3,2) 且分別交 x 軸正向、y 軸正向於 A、B 兩點。若 A、B 兩點在直線 \( 8x + 3y + 12 = 0 \) 上的投影點分別為 C、D，則 \( \overline{CD} \) 的最小值為__________。
4. 正四面體 O−ABC 中，D 點在 \( \overline{OA} \) 上且 \( \overline{DA}:\overline{DO} = 1:3 \)，E 為 \( \overline{BC} \) 中點，P 為 \( \overline{DE} \) 上的一點。設 \( \overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OD} + y\overrightarrow{OE} \)，則當 \( |\overrightarrow{OP}| \) 為最小值時，x=__________。
5. 設 x 為實數，則函數 \( f(x) = \sqrt{x^4 - x^2 - 10x + 26} - \sqrt{x^4 - 5x^2 + 9} \) 的最大值為__________。
6. 坐標空間中有兩點 A(5,1,12)、B(4,2,3)，現於 y 軸上取一點 P，使得 \( \overline{PA} + \overline{PB} \) 有最小值，則 P 點坐標為__________。
7. 設 \( f(x) = x^3 - x^2 + 2x - 3 \)，\( g(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 7x + 7 \)，已知 \( f(x) = 0 \) 的三個相異根分別為 \( \alpha, \beta, \gamma \)，則 \( \dfrac{1}{g(\alpha)} + \dfrac{1}{g(\beta)} + \dfrac{1}{g(\gamma)} = \)__________。
8. 設 a 為整數，滿足 \( \left[\dfrac{1}{2}a\right] + \left[\dfrac{2}{3}a\right] = a \)，試求 a 的最大值為__________。（[ ]為高斯符號，亦即：[x] 表示不大於 x 的最大整數。）
9. 坐標平面上，函數 \( y = \sqrt{3 - \sqrt{x}} \)，x 軸，直線 x=1 與直線 x=4 所圍成的區域面積為__________。
10. 空間中三向量 \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)，\( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \)，\( \vec{c} = (c_1, c_2, c_3) \)，若 \[ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 64 & \alpha & 24 \\ \alpha & 9 & \beta \\ 24 & \beta & 36 \end{bmatrix} \]，且 \( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 48\sqrt{3} \)，則 \( \alpha + \beta \) 的最大值為__________。
(1). 直線 AB 的斜率為多少；
(2). \( \overline{AO}:\overline{OR} \) 的比值為多少；
(3). 若甲在 C 點，乙在 B 點兩人同時出發，其中甲沿著步道 AC 向 A 前進，乙沿著步道 BC 向 C 前進，若甲的速度是乙的 \( \sqrt{5} \) 倍，試問甲乙兩人的最短距離為何？
2. (1). 證明正弦定理：△ABC 中 ∠A 的對邊長為 a、∠B 的對邊長為 b、∠C 的對邊長為 c，則 \( \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} \)。
(2). 承(1).符號，證明餘弦定理：\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \)。
(3). 證明和差化積公式：\( \sin x + \sin y = 2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2} \)。
3. 請用兩種不同的方法計算 115 年學測第 17 題：『直角 △ABC 中，∠CAB 為直角，\( \overline{AB} \) 邊上一點 D，滿足 ∠BCD=2∠ACD，且 \( \overline{BC} = 2\overline{BD} \)。若 \( \overrightarrow{AD} = k\overrightarrow{AB} \)，則 k 的值為？（化為最簡分數）』。請以寫給學生看的詳解方式書寫，每個完全正確的方法及過程最高得 5 分，合計最高 10 分。
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(A)\( \overline{AB} = 10 \) (B)△ABC 面積為 \( 10\sqrt{3} \) (C)\( \overline{A_1C}、\overline{A_2C}、\overline{A_2C}、\ldots、\overline{A_{n-1}C} \) 長度形成一個遞減數列 (D)\( \theta_1、\theta_2、\theta_3、\ldots、\theta_{n-1} \) 形成一個遞增數列 (E)當 n=100，若 \( \theta \) 為數列 \( \theta_1、\theta_2、\theta_3、\ldots、\theta_{99} \) 的最大值，則 \( \tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{60} \)