(3). 若甲在 C 點，乙在 B 點兩人同時出發，其中甲沿著步道 AC 向 A 前進，乙沿著步道 BC 向 C 前進，若甲的速度是乙的 \( \sqrt{5} \) 倍，試問甲乙兩人的最短距離為何？（4 分）

1. 袋中有紅球與白球共 16 顆（其中紅球與白球分別都至少有 2 顆），從袋中抽出 2 球，且 2 球均為紅球的機率大於 \( \dfrac{1}{4} \)。試問從袋中抽出 3 球，且 3 球中有紅球也有白球的機率之最大值為__________。

2. 設矩陣 \( A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{1}{2} \\ 1 & \frac{5}{2} \end{bmatrix}^5 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)，則矩陣 A 中所有元(素)的總和為__________。

3. 坐標平面上，直線 L 過點 (3,2) 且分別交 x 軸正向、y 軸正向於 A、B 兩點。若 A、B 兩點在直線 \( 8x + 3y + 12 = 0 \) 上的投影點分別為 C、D，則 \( \overline{CD} \) 的最小值為__________。

4. 正四面體 O−ABC 中，D 點在 \( \overline{OA} \) 上且 \( \overline{DA}:\overline{DO} = 1:3 \)，E 為 \( \overline{BC} \) 中點，P 為 \( \overline{DE} \) 上的一點。設 \( \overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OD} + y\overrightarrow{OE} \)，則當 \( |\overrightarrow{OP}| \) 為最小值時，x=__________。

5. 設 x 為實數，則函數 \( f(x) = \sqrt{x^4 - x^2 - 10x + 26} - \sqrt{x^4 - 5x^2 + 9} \) 的最大值為__________。

6. 坐標空間中有兩點 A(5,1,12)、B(4,2,3)，現於 y 軸上取一點 P，使得 \( \overline{PA} + \overline{PB} \) 有最小值，則 P 點坐標為__________。

7. 設 \( f(x) = x^3 - x^2 + 2x - 3 \)，\( g(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 7x + 7 \)，已知 \( f(x) = 0 \) 的三個相異根分別為 \( \alpha, \beta, \gamma \)，則 \( \dfrac{1}{g(\alpha)} + \dfrac{1}{g(\beta)} + \dfrac{1}{g(\gamma)} = \)__________。

8. 設 a 為整數，滿足 \( \left[\dfrac{1}{2}a\right] + \left[\dfrac{2}{3}a\right] = a \)，試求 a 的最大值為__________。（[ ]為高斯符號，亦即：[x] 表示不大於 x 的最大整數。）

9. 坐標平面上，函數 \( y = \sqrt{3 - \sqrt{x}} \)，x 軸，直線 x=1 與直線 x=4 所圍成的區域面積為__________。

10. 空間中三向量 \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)，\( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \)，\( \vec{c} = (c_1, c_2, c_3) \)，若 \[ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 64 & \alpha & 24 \\ \alpha & 9 & \beta \\ 24 & \beta & 36 \end{bmatrix} \]，且 \( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 48\sqrt{3} \)，則 \( \alpha + \beta \) 的最大值為__________。

115年 - 115-1 臺北市立南湖高級中學_正式教師甄選試題：數學科#139253

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