42. 某數學練習卷上有下面一個問題：
「一條彩帶長公尺，小志用這條彩帶的來布置教室，小志用了多少公尺的彩帶？」這個問題中的「 」是分數的哪一種意義？
(A)指示除法(indicate division)
(B)運算子(operator)
(C)商(quotient)
(D)比(ratio)

單位量的指認

「無論是處理部分／全部意義，子集／集合意義，比的意義的分數問題或將分數視為數線上的一個點的值，最重要的一件事就是確認單位量。（呂玉琴, 1996)」。因此，欲真正了解分數必需得完全掌握「單位量」這個子概念。可是學生常常會有指認單位量的困難。例如，在處理部分/全部，子集/集合或數線的分數問題時常見迷思概念的現象，約略可以分為（1）忽略給定的單位量；（2）受分子的控制解題時只考慮到分子的因素；（3）受分母的控制只考慮到問題中的分母解題過程深受分母的影響。

兒童能否在圖形找到適當的單位，將指定的部分量分盡，再利用這個單位重組成全部或集合，這種能力即為「單位形成能力」，此能力是兒童能否解決分數問題的關鍵（Saenz-Ludlow, 1994;1995））。Hart（1981）曾以下列問題來了解英國中學生對於單位量指認的能力，問題是瑪莉花了她的零用錢的1/4，約翰花了他的零用錢的1/2，瑪莉可能比約翰花的錢多嗎?根據以上問題，發現12歲的學生回答的答案為「瑪莉的錢比約翰的多2倍」的比例分別佔了1.6％。而楊壬孝（19××）以同樣的題目在國內對國小六年級的學生測驗，發現國小六年級學生對分數單位量的了解也只有15％。

單位量的子分割

依分數數詞所描述的量的性質，可將分數的問題情境分為三類：(1)連續量情境，例如，「1/3條繩子」；(2)離散量情境，例如在一打鉛筆有12枝的情境中，討論「1/3打」鉛筆；(3)以全部為單位量的情境，例如在全部有12個糖果的情境下，討論「全部的1/3」(國立編譯館，民90年)。

在連續量的情境中，當某個連續量已經被度量化，例如「一條3公尺長的繩子」，由於可以將3個一公尺合成3公尺，因此，這樣的描述相當於「一盒糖果有3顆」，換句話說，公尺單位已將連續量離散化，因此，已度量的連續量情境亦可視為離散量的問題情境。

在離散量情境中，可分為以「一」為單位量，以及以「全部」為單位量這兩種子分割情境。分數詞，例如3/4，當單位「一」確定之後，一個部分（3/4）與單位「一」之間的關係，換言之，係以單位「一」來測量一個不滿一個單位量的部分後，對這個部分與單位「一」之間的關係的量化。因此，當面臨的子分割單位量不是「一」的情境，兒童可以根據分數詞的指示，將單位量的內容物依分母的數值而等分割成相對應的分數。但是，當子分割的單位量不是「一」，而是一個集聚單位時，也就是以全部為單位量的情境，例如，「12個糖果」，此時兒童必須先將該集聚單位視為一個高階單位「一」後，才能討論它與單位分數之間的關係。

至於是否可以將一個集聚單位視為高階單位「一」，並掌握其與單位分數之間的關係，與兒童的運思發展有密切的關係。就如同在整數的領域中，「4」與「12」之間的部分與整體關係的掌握，要到測量運思階段才有可能一樣，在分數的領域中，「1/4」與「12」之間的部分與整體關係的掌握也要到達相同階段。換言之，在部分與整體運思階段，由於還無法將「12」視為一個高階單位「一」，此時，1/4這個運算子並無適當的應用對象，因此，兒童在面對這種情境時，可能將1/4應用在12之中的一個元素上，或扭曲運算子的意義，而視1/4為一個量數。

分數的子構念

分數在小學階段約可以分成下列幾個子構念(Behr, Lesh, Post, & Si;ver, 1983)，構念的意義分數如下：（見圖一）

分數當作部分-全體（Rational number as part-whole）：

牽涉到「從一些整體到部分分割的物體或心理的動作」。Streefland (1987)與Ower(1976)的研究發現：需具有長度、面積守恆概念，才會有「部分－全部」的分數概念。不管是離散量和連續量二者的分割活動，在語意上都含有「部份與全體並置」的意味 (甯自強，1993)。以3/4為例，4等分中的3份。小學課本裡有：「圓形與長方形各分成兩半，問其中一半佔全部的幾分之幾？」的問題，兩者的答案都是「二分之一」，但是兩個二分之一是不等的，兩個分別是圓形與長方形的二分之一，既然圓形與長方形的大小不等，所以兩個「1/2」所代表的量也就不等了。同樣是「1/2」，但是所代表的量不等，對於學童來說是很困難的事。

分數當作商（rational number as quotients）

兩數相除的結果（3÷4），例如，3塊蛋糕由4個人方享，若設每人吃到的蛋糕量用符號x表示，那麼就是解方程式4x=3，也就是x=3/4，高年級學生有很多學生不會用分數表示兩數相除的結果（楊錦連1999）。

Lamon (1999)指出：學童無法了解「分數當作商的概念」，直到在分割（partition）情境裡「一人分到多少份？」、「一個單位裡分到多少部分？」的問題能夠掌握。以上兩個問題對兒童來說要花很長的一段時間才能解答。Lamon也發現：分割的片數愈大，學童愈能掌握「商數層面」的「分數」問題（P. 83）。

分數當作運算子（rational number as operators）

放大3倍除以4（縮小1/4倍）。其實既然看成運算子，也可以看成函數，也就是對於任意數x，函數 3/4把x轉換了，3/4 (X) = X ×3 /4。而在應用一個運算子的過程，就是放大與縮小，到底是放大還是縮小就取決於運算子的大小（Lamon, 1999）。

分數當作量數（rational number as measures）

   分數不僅是分割後的結果，分數也是數，分數在數線上可以佔一席之地，也就是可以在數線上表示分數的大小，數線上的一個值。

分數當作比值（rational number as ratios）

3/4：看成是甲為乙的3/4倍的記號，在此3/4可以表示以4為一個單位時，3的大小。

以上五種分數的概念有不同的施教時機，需視問題情境轉變，例如「部分／整體」是限於連續量的型式；「子集合／全集合」比較適於離散量。前兩者也是國小五年級階段較熟悉的範圍（呂玉琴，1996）。後三者可能要在小六以後的學童才能掌握。

資料來源：https://www.hhps.cyc.edu.tw/nine/math2/920523%E8%B3%87%E8%A8%8A%E8%9E%8D%E5%85%A5%E5%9C%8B%E5%B0%8F%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%95%99%E5%AD%B8.htm