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112年 - 112 高雄市立高雄高級中學第一學期第三次段考數學科試題 A 卷_高一科學班：複數與多項式#118924

科目：數學 | 年份：112年 | 選擇題數：0 | 申論題數：20

試卷資訊

所屬科目：數學

選擇題 (0)

申論題 (20)

1.假設f(x), g(x), ℎ(x)為實係數多項式，且滿足(f(x)) 2 = x ∙ (g(x)) 2 + x ∙ (ℎ(x)) 2，試求f(124) + g(224) + ℎ(324) 之值。
2.試求所有實數p ，使得三次方程式5x 3 − 5(p + 1)x2 + (71p − 1)x + 1 − 66p = 0的三個根均為正整數。

3.已知a3 − a − 1 = 0，且滿足方程式65dbeab2b6ba3.jpg，其中f(x)為首項係數為 1的整係數多項式。試求滿足此條件的次數最低的多項式f(x)。
4.已知p(x)為實係數多項式，且滿足(x 3 + 3x 2 + 3x + 2) ∙ p(x − 1) = (x3 − 3x2 + 3x − 2) ∙  p(x)，試求 p(x) = 0的所有實根。

5.假設p(x)為 2024 次實係數多項式，且對k = 0,1,2,3, … ,2024，均有65dbebace341a.jpg ，試求p(2025)之值。

6.假設65dbec997ef3a.jpg，試求b32之值。
7.假設a2024x 2024 + a2023x 2023 + ⋯ + a2x 2 − x + 1 = 0有2024個正實根，試求sup (2 2a2 + 23a3 + ⋯ + 2 2024a2024) 之值。
8.試求所有以有理數a, b, c為三根的三次多項式p(x) = x 3 + ax2 + bx + c。

9.試解方程組65dbedb5732a0.jpg。

10. 已知k為正整數，k! = 1 × 2 × 3 × … × k。假設?(x)為 2024 次實係數多項式，且對k = 0,1,2,3, … ,2024，p(k) =65dbedef2be5b.jpg，試求p(2025)之值。

11. 試求滿足65dbee1be8e34.jpg的所有正實數x的整數部分之和。

12. 已知函數p(x)在(0, ∞)上為嚴格遞減。對任意x ∈ (0, ∞)，均有65dbefb94f52f.jpg。若g(x) = p(x) + 4x2， 試求函數g(x)的最小值。

13. 若複數z滿足65dbf081ee83d.jpg為負實數，65dbf0965d6c0.jpg為純虛數，試求複數z的絕對值。
14. 已知函數?(x)在實數上為奇函數且p(x) = x 2，對任意x ∈ (0, ∞)。試求滿足f(f(x)) + f(x − 1) ＜ 0的解集合。
15. 已知函數p(x) = x 3 − ax 2 + (a2 − 2)x + 1。若存在m ＞ 0，使得p(m) ≤ 0，試求實數a的最大值。
16. 已知實數m滿足：對於x的實係數一元二次方程式ax 2 + bx + c = 0有實根時，(a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 ≥ ma 2恆成立，試求實數m的最大值。

17. 已知方程式x 3 − 9x 2 + 8x + 2 = 0的三根分別為p, q, r，試求65dbf2151ff6e.jpg之值。
18. 已知二次實係數函數p(x) = x 2 + ax + b有兩個不同的實根。若f(x2 + 2x − 1) = 0有四個不同的根，且此四根 成等差數列，試求a − b的取值範圍。

19. 假設p(x) = x 3 + 3(x 2 + x + sin πx)，試求p(1 − π) + p(π − 3)之值。

20. 已知函數p(x)滿足：對任意非零實數x，均有65dbf30fd88db.jpg，試求p(x)在(0, ∞)上的最小值。