115年 - 115 國立高科實驗高級中等學校_專任教師甄選_國中部︰數學領域數學專長#138920

1. 定義

記號[t]表示不大於t的最大整數，{t}表示t的小數部分。問下列哪一個選項是錯的？ (A)t ＞ 1 (B)4t ＞ 1314 (C)[t] = 657 (D)

2. 設{aₙ}為一等比數列，且滿足a₄ ＞ a₅ = 1。若存在自然數n，使得

a₁+a₂+⋯+aₙ ＞ ，則此類n的最大值為何？ (A)7 (B)8 (C)9 (D)10

3. 下列哪一個選項的敘述     錯誤     ？ (A)若a²為有理數，且a⁵也是有理數，則a必為有理數。 (B)√2+√11 ＜ √6+√7。 (C)a、b為正實數，若a+3b=12，則a×b的最大值為12。 (D)a、b為實數，若a+b√33=0，則a=b=0。

4. 如圖1。政府因興建公共建設，需徵收阿土伯的農地（圖中灰色部分）建設成寬度為4公尺的新道路。請問：阿土伯被徵收的農地為多少平方公尺？

(A)120 (B)160 (C)200 (D)250 (E)送分

5. 下列有五組資料，每組各有6筆數值：

四位學生針對上表資料提出以下主張：

甲生：考慮標準差σ，則σ_I=σ_II。

乙生：考慮第1四分位數Q₁，五組數值中第III組的Q₁最大。

丙生：考慮中位數M_e，五組數值中第I組的Me最小。

丁生：考慮算術平均數μ，μIII=(μI)²。

關於四位學生的說法，誰的說法正確？ (A)只有甲和乙 (B)只有甲和丙 (C)只有乙和丙 (D)只有乙和丁

二、 填充題

6. 記號[a]表示小於或等於a的整數中最大的。例如[3.12]=3，求的值。

7. 如圖2所示，直線L交拋物線y=x²於兩點Q、R，交拋物線y=於兩點P,S。已知P,R的x座標分別為-4和1，求下列三個三角形的面積比△OPQ:△OQR:△ORS。

8. 三個點A(3,7)、B(8,4)、C(6,9)為三角形△ABC的頂點。接著同時擲出兩顆骰子，設骰子P的點數為a，骰子Q的點數為b，並令通過原點O的直線L: y=。求在這種情況下：直線L不與△ABC的邊或內部有交點的機率為?

9. 如圖3有一個等腰直角三角形△ABC，滿足=6公分。今有動點P從A點出發，以每秒3公分的速率，沿著邊AB→BC的順序移動，最終在C點停下來。同時，動點Q從B點出發，以每秒2公分的速率，沿著邊BC朝C點移動，並在C點停下。設動點P、Q出發後過了t秒時，三角形△APQ的面積為f(t)平方公分，0≤t≤4。

試求t為何時，三角形△APQ的面積為三角形△ABC的1/3。

10. 有一數列1²、2²、3²、4²、5²、…、1999²共計1999項。請問：此數列每一項數字的十位數為偶數的共有_______項。

11. 數列a₁,a₂,a₃,…，首項a₁=2024，後項是前一項每一個位值數字的平方和（例如：a₂=2²+0²+2²+4²=24，a₃=2²+4²=20，依此類推）。求a₂₀₂₄之值為__________。

12. 如圖4。同時投擲一枚「三次方」的灰色正立方體骰子（六個面分別為1³,2³,3³,4³,5³,6³），和一枚「二次方」的白色正立方體骰子（六個面分別為1²,2²,3²,4²,5²,6²）。請問：灰色骰子擲出的數值與白色骰子擲出的數值之比值為整數的機率為_________。

13. 哥德巴赫(Goldbach)是18世紀後非常著名的數學家之一。他於西元1742年寫信給另一位著名的數學家歐拉(Euler)，信中提到：

然而，哥德巴赫與歐拉在當時都無法證明這個猜想。於是，這道問題便流傳了二百多年。直到二十世紀，我們才開展對此問題的深入探究。若小明希望找到兩個不同的質數 p 與 q，使得 p+q = 192，並且能讓 2p－q 的值越大越好。請問：數對（p，q）=____________ 。

14. 若a＜b＜c且滿足以下條件：

【條件1】a是b+c的因數；

【條件2】b是c+a的因數；

【條件3】c是a+b的因數；

【條件4】a、b與c的總和小於2026。

我們稱正整數三元組（a,b,c)為V-三元組。請問，滿足上述條件的V-三元組共有________組？

15. 求一個二次多項式P(x)，其係數皆為整數，且二次項係數為9，使得對任意十進位表示只含數字1的正整數n，P(n)十進位表示中的每一位數的數字皆為1。

16. 求所有實數a，使得下列兩個方程 x²+ax+1996=0, x²+1996x+a=0 都具有兩個整數根。

17. 如下方示意圖5-1及圖5-2，已知中心對稱排列的 3 個相同大小的圓，半徑皆為 r，此三圓圓心分別位於 A、B、C 三點(∆???為一正三角形)，且此三圓兩兩交於 A、B、C、D、E、F 六個點，若此三圓所能完整覆蓋的最大半徑的圓其半徑為√3，求 r 的值為? (圖示中虛線所圍圓形即為此三圓所若覆蓋的圓之一)

18. 棋盤上一枚「國王」(king)放在一個6×6棋盤的左下角。每一步它可以向上走一格、或向右走一格，或同時向右上走一格。問它從左下角走到右上角共有多少種不同走法？

（1）請從圖6中的五個面向（智慧科技、國際視野、淨零永續、跨域共榮以及人文創藝）中自選一個面向，針對國中階段學生說明您期待他們在七~九年級，應各自達成的目標或展現的行為何？才能發展出符合本校期待之未來公民。

（2）身為一位數學教師，更應思考如何在自己的教學脈絡中，發展出符合圖6中各面向（智慧科技、國際視野、淨零永續、跨域共榮以及人文創藝）特色之教學活動。故，請您選擇國中階段一個單元，結合您規劃之活動，分別從學習內容、教學目標、教學策略、教學活動、評量方式等部分，說明您如何讓您的學生能在此活動進行中，既發展數學領域概念與技能，也發展出符合學校期盼之向本特色之能力。