115年 - 115-1 國立彰化高級中學_教師甄選試題：數學科#139364

1. 設α₁ , α₂ , α₃ , ⋯ , α_n 為滿足以下條件的?項數列：

(1) 對k = 1,2,3, ⋯ , n，α_k∈ {−1,0,1,2}；

(2) =1 α_k = α₁ + α₂ + α₃ + ⋯ + α_n = 16；

(3) =1 α_k² = α₁ ² + α₂ ² + α₃ ² + ⋯ + α_n² = 50；

(4) =1 α_k ³ = α₁ ³ + α₂ ³ + α₃ ³ + ⋯ + α_n ³ = 70；

 試求=1 |α_k | = |α₁ |+|α₂ | + |α₃ |+ ⋯ + |α_n |的值為__________。

2. 設 x ∈ R 且 x ≠ 1 ，則 f ( x) = x + 2 + 之範圍為_________ 。

3. 設f為定義域為正整數的函數，已知f(115) = 115，若對每一正整數n使得f(n) + f(n + 3) = n² 恆成立，則f(70) =__________。

4. 設一圓周上有 18 個等分點，若取 3 個分點作三角形，則可作成_________個銳角三角形。

5. 已知 x, y 都是自然數且 ，則數對 ( x, y ) = _____

6. 彰化火車站有3個出口，每個出口每次僅能允許一個人出站，現有一個10人的旅行團到達 彰化站，則出站的方式有__________種。

7. 設有 10 個二維數據，其統計資料如下：

如果歐利瑪隊長求?對?的迴歸直線方程式時，不慎將斜率公式誤植為

求得斜率為 ，其餘計算沒有錯誤，則正確的迴歸直線斜率應為__________。

8. 下圖中，P為三角形∆ABC內部一點，已知 ̅̅̅̅，試求 =__________。 

9. 已知 x, y 滿足方程式 (log3 y)² + (2^x+1 + 2^{1− x} )log₃ y + (2^{2 x+1} + 2^{1−2 x} ) = 0 ，則數對 ( x, y ) = _________

10. 設 m 為實數，已知方程式 2 |x − 1| + 3| mx − 5| = 6 恰有 2 實根，則 m 的範圍為__________。

11. 計算 = _________ 。

12. 設 z₁=1+i，z_n+1= （n∈N）， ；若 ＝ｓ且｜S−S_n｜<10⁻²⁰，則 n 的最小值為_________

13. 遊戲規定為:自 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取相異的四個數字排成一個四位數，若此四位數是 99 的倍數，則可獲得相同數目的獎金，求玩此遊戲 1 次的期望值=_______。

14. 已知空間向 滿足 = (7,1, −3),= (3,5,1),= (-1,-7,5) ,試求 所展成的平行六面體體積為__________。 

15. 設，求A¹¹⁵ = __________。(當aⁿ中的正整數指數n ≥ 10時，可以不用展開)

16. =__________。

17. 設函數f(z) =αz² + bz + c，其中α, b, c皆為複數。若對任意滿足|z| ≤ 1的複數z，都有 |f(z)| ≤ 1，試求|bc|的最大值= __________。

1. 已知△ ABC為銳角三角形，若為分別為三邊 上的高，試證： △ ABC的垂心H必為△ DEF的內心。 

2. 已知 x ∈ R ，證明方程式 10 ^x + 11 ^x + 12 ^x = 13 ^x + 14 ^x 恰有一個實數解並求此解。