115年 - 115 桃園市立陽明高中_教師甄選試題：數學科#139018

6. 調查8個學生在端午節當天所吃粽子數量（所吃粽子數量均為正整數），已知此8個學生中最少吃2顆粽子，最多吃6顆粽子，則由此數據可知下列哪些一定正確？（全對才給分） (A) 算術平均數≤4 (B) 若中位數＝4，則算術平均數≤4 (C) 若只有一個眾數且眾數＝2，則算術平均數≤4 (D) 標準差≤2 (E) 若調查結果，8位學生共吃了23顆粽子（粽子均相同，每人最少吃2顆、最多吃6顆，且有學生恰好吃2顆亦有學生恰好吃6顆），則此23顆粽子分給8位學生，共有672種不同分法

1. 若x、y、z均為實數，則 2^x²+4y+2 + 2^4y²+2z+2+ 2^z²+2x+2 的最小值為_______。

2. 已知拋物線 y=x²+kx+1 與直線 2x+y+k=0，兩圖形有兩個交點而且兩交點分別在y軸的兩側，則k的範圍為_______。

3. 設有7個機器戰警，其戰鬥力分別為：3, 7, 15, 31, 63, 127, 255。每兩個戰警可合組成一個新的戰警，且新戰警仍可繼續與其他戰警組合；假設每一次組合戰鬥力的變化規則如下：「戰鬥力為x與y的兩個戰警，可合組成戰鬥力為x+y+xy的新戰警」。已知不論組合的次序如何，經過6次的重組之後，最後留下來的唯一戰警之戰鬥力都等於k，則log₂(k+1)＝_______。

4. 設正整數x、y、z出現偶數的機率分別為且彼此互不影響，試問在xy為偶數的條件下，x+y+z為奇數的機率為_______。

5. 正方形ABCD的邊長為10，P、Q分別為上的點，沿將四邊形ABQP翻摺，使得點A落在邊上，若欲使得四邊形ABQP的面積最小，則=_______。

7. 坐標空間中一平行六面體，某一底面的其中三頂點為(-1,2,1)、(-4,1,3)、(2,0,-3)，另一面之一頂點在yz平面上且與原點距離為√13。滿足前述條件之平行六面體中，最大體積為_______。

8. 在坐標平面上的點序列(a₁,b₁)，(a₂,b₂)，(a₃,b₃)，…，對所有的n=1,2,3,…都滿足(aⁿ⁺¹,bⁿ⁺¹)=(√3·aₙ-bₙ, √3·bₙ+aₙ)。若(a₁₁₅,b₁₁₅)=(1,5)，試問a₄+b₄=_______。

9. 小豬四兄弟合資郵購了三百多顆的蘋果，蘋果寄到家裡時，家裡恰好只有豬大哥在。豬大哥想將蘋果均分為四堆，卻發現多了一顆，

 (1) 豬大哥吃掉一顆，並拿走剩餘蘋果的四分之一然後離家。豬二哥回家時發現這些蘋果，不知道豬大哥已經拿走一些，豬二哥想將蘋果均分為四堆，卻發現多了一顆，

(2) 豬二哥吃掉一顆，並拿走剩餘蘋果的四分之一然後離家。豬三哥回家時發現這些蘋果，不知道豬大哥豬二哥已經拿走一些，豬三哥想將蘋果均分為四堆，卻發現多了一顆，

(3) 豬三哥吃掉一顆，並拿走剩餘蘋果的四分之一然後離家。豬小弟回家時發現這些蘋果，不知道豬大哥豬二哥豬三哥已經拿走一些， 

(4) 豬小弟想將蘋果均分為四堆，發現剛好可以平分為四堆。

請問蘋果有_______顆。

10. 在坐標平面上，考慮二階方陣所定義的線性變換。對於平面上異於原點O的點P₁，設P₁經A變換成P₂，P₂經A變換成P₃。假設P₁是圖形y=-5上的動點，試求△P₁P₂P₃面積的最小值_______。

11. 設a,b為整數，若多項式x²+x-1為ax¹⁷+bx¹⁶+1的因式，試求a之值_______。

12. 設數列＜aₙ＞的前n項和為Sₙ且滿足Sₙ=2aₙ-1，∀n∈N。數列＜bₙ＞滿足b₁=3且b_n+1=aₙ+bₙ，∀n∈N，試求的末兩位數字為何？_______

13. 若x＞0，試求 的最小值_______。

14. 正△ABC的邊長為5，若點P在△ABC外接圓的劣弧AB上，試求△APB+△APC面積的最大值_______。

15. 空間中直線L通過點P(1,2,-1)，已知L和L₁: =z+3交於A點；L和L₂: 交於B點，試求B點座標_______。

16. 設x,y,z＞0且滿足 ，試求x+y+z之值_______。

17. 試證明：任意實係數三次多項式函數f(x)=ax³+bx²+cx+d（a≠0）之圖形均為點對稱圖形

 (1) 試證明：＞2

(2) 試證明：abcd＞a+b+c+d+8