49.某工廠每日生產某產品 2,000 件，平均每日檢驗發現不良品約 100 件，若建立不良率管制圖，則其管制上限(UCL)及下限(LCL)分別為多少？
(A) UCL=0.05487，LCL=0.05413
(B) UCL=0.05975，LCL=0.04025
(C) UCL=0.06462，LCL=0.03538
(D) UCL=0.07924，LCL=0.02076

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統計： A(14), B(20), C(83), D(6), E(0) #3172953

詳解 (共 1 筆)

陳堂右

B1 · 2025/03/29

#6352424

建立不良率管制圖 (p-圖) 時，計算管制上限 (UCL) 和管制下限 (LCL) 的公式如下：

UCL=p+Z×p(1−p)nUCL = p + Z \times \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}UCL=p+Z×np(1−p) LCL=p−Z×p(1−p)nLCL = p - Z \times \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}LCL=p−Z×np(1−p)

其中：

ppp 是不良品的比率，計算公式為： p=不良品數量樣本大小p = \frac{\text{不良品數量}}{\text{樣本大小}}p=樣本大小不良品數量
ZZZ 是常態分佈的標準差，通常選擇 Z=3Z = 3Z=3 (對應 99.7% 的置信度)
nnn 是每個樣本的大小（在這裡是每日生產數量）

步驟：

計算不良率 ppp：

p=1002000=0.05p = \frac{100}{2000} = 0.05p=2000100=0.05

代入公式計算 UCL 和 LCL：

n=2000n = 2000n=2000
p=0.05p = 0.05p=0.05
Z=3Z = 3Z=3

先計算標準差：

0.05(1−0.05)2000=0.05×0.952000=0.04752000=0.00002375≈0.0049\sqrt{\frac{0.05(1 - 0.05)}{2000}} = \sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{2000}} = \sqrt{\frac{0.0475}{2000}} = \sqrt{0.00002375} \approx 0.004920000.05(1−0.05)=20000.05×0.95=20000.0475=0.00002375≈0.0049

現在可以計算 UCL 和 LCL：

UCL=0.05+3×0.0049=0.05+0.0147=0.0647UCL = 0.05 + 3 \times 0.0049 = 0.05 + 0.0147 = 0.0647UCL=0.05+3×0.0049=0.05+0.0147=0.0647 LCL=0.05−3×0.0049=0.05−0.0147=0.0353LCL = 0.05 - 3 \times 0.0049 = 0.05 - 0.0147 = 0.0353LCL=0.05−3×0.0049=0.05−0.0147=0.0353

因此，管制上限 UCLUCLUCL 約為 0.0647，管制下限 LCLLCLLCL 約為 0.0353。