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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
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113年 - 113 專技高考_電子工程技師：工程數學（包括線性代數、微分方程、向量分析、複變函數與機率）#123976
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題組內容
一、考慮下列之 5 階常微分方程：
假設初始值為
。
令
(二)若
，請求v (t)之特解（particular solution）。
其他申論題
(一)請說明何謂正交振幅調變（quadrature amplitude modulation, QAM）？（5 分）
#527012
(二)一般可以用調變信號的星座圖（constellation）來表示不同的數位調變方式。在一個具有正方形星座圖（square constellations）的 M-QAM 信號調變，也就是也是一個 2 的指數次方（power of 2），假設 E0為星座圖上的單位能量，請計算該 M-QAM 信號調變的平均信號能量（average signal energy）。現有兩種不同調變信號：4096-QAM 及 1024-QAM，請比較上述兩種不同調變信號的平均信號能量（average signal energy）。若要使兩種不同調變信號達到相同的傳輸效能，請問使用256-QAM 要提高多少 dB 的平均能量？（10 分）
#527013
(三)從星座圖上看，一個正方形星座圖的 QAM 可以將其拆解成兩個對應的脈波振幅調變（pulse-amplitude modulation, PAM）的乘積。假設在加性高斯白雜訊（additive white Gaussian noise, AWGN）通道下，一個L-PAM 調變的符元錯誤（symbol error）機率為 Pe，可表示為：在相同的 AWGN 通道下，請利用 L-PAM 調變的符元錯誤機率 Pe 計算出一個正方形 M-QAM 調變的符元錯誤機率。（10 分）
#527014
(一)請求v (t)之齊次解（homogeneous solution） ，請以上面係數（σ1 ,ω1 , σ2 , ω2 ）將齊次解表示為實數函數。
#527015
(一)請求矩陣 Q 之特徵值與對應之特徵向量。（20 分）
#527017
(二)請判斷此二次型為（半）正定（positive（semi）definite） 、（半）負定（negative（semi）definite）或皆不是？若限制=1，請求此二次型之極大與極小值。（10 分）
#527018
(一)請求其穩態時（時間很大時，即 t → ∞ ）之解。（提示：穩態解對時間不再變化，只與空間變數有關） （10 分）
#527019
(二)請求此問題之特徵函數（eigenfunctions）。（提示：先做座標轉換，移除穩態解，使邊界條件為齊次，再以分離變數法求特徵函數） （20 分）
#527020
(一)如圖一所示，有一半圓路徑 C。若有一帶電粒子沿此路徑移動，從（1, 0）移動至（-1, 0），請求此電力場對此粒子運動所作之功，即求W =， r =(x, y)為粒子質點位置。（10 分）
#527021
(二)如圖二所示，此粒子再由（-1, 0）沿水平直線移動至（1, 0） ，形成一封閉路徑。請以格林定理（Green’s theorem）求此電力場對此粒子沿此封閉路徑運動所作之功。（10 分）
#527022
。
，請求v (t)之特解（particular solution）。
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。，請求v (t)之特解（particular solution）。